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1、.36.巾等数学勾股数的基本组及其性质陈珠,x,。,本文给出勾股数基本组的某些性质并其中y均是非负整数此时。a“+“=x“+Z+x+y+2,由此得出排列勾股数基本组的一个方法b4(y)a,,c2aZ一Z,4aZ+Z,定义1如果正整数b能满足不定从而}(b)但率(b)ZZ=e“,cZcZ,c。方程a+b(i)即2}而4水这与是整数矛盾故,,,。a,。ac则它们叫一组勾股数用〔b〕表示与b不可能同奇所以一奇一偶因奇数平a,,c,,,定义2如果〔b〕为一勾股数方为奇偶数平方为偶奇加偶为奇从而,a,=1,a,,ec“。e,c。组且(b)则〔b〕叫一为奇又因为整数故为奇数,全体勾股
2、数的基本组用定理4一切勾股数的基本组可用下述个勾股数的基本组。;集合A表示公式表示a,,ea=xnn,=,z,2一nZ,e=,。12+nZ。定义3若〔b〕为一勾股数的Zb(2),a,,e。,n,nn,(,n二,基本组则〔kkbk〕叫一勾股数的其中为正整数且>m)i。。,导出组其中k为正整数一奇一偶a,,e,a,,nn,a,定理1若〔b〕任A则(b)证明由m为正整数且m>知,。=(a,c)=,c=a,,e=1.be由(2,l山)2+(,112一。“)“”(b)(b)〔符号为正整数a,a,,。(b)表示正整数和b的最大公约数〕(llJZ+n,)2,知〔abe〕为一勾股数组a,
3、,ea,证明由〔b〕任A知(b)由ni,n一奇一偶,,112一nZ,知为奇数=1,a“+Z=e“,a,,e。且b其中b为正整2,,,,,飞“+,,“e+二2,n“,山为偶数为奇数由b。a,.,数今证(c)二1如若不然假设c一b=Zn“,e与l“知b的任何公因数必是ZJl与a,e=,a二a,,e二e产,n2。,,,()k)1令kk则2的公因数又因(,1n)=i所以e“=e“一aZ=Ze,2一a,“。bk()与21;c,b至多有公因数与但与b均为奇数ZZ,,a,=1,.,,从而k}bk}b这与(b)矛故只有(bC)=1从而(ab)=1故,,c.。盾故(a)=1同法可证其它〔a
4、,b,e〕.任Aa,,C,定理2若〔b〕为一勾股数组,a,,e,a,反之设〔b〕任A则(b)a,=,a,,e且(b)d>1则〔七〕为一勾股=1.由定理3a,b一偶,c。知一奇为奇数。数的导出组不妨设ab奇,偶取,b)=d>,a=证明由(a1可设k=“+,‘一“一da,,b=db‘,(a,,b‘)=i,从而C,‘b,‘b,d}可音合e=de,.a,“+,)“=e,“设由(d)(db(d),。则kt为正整数,a‘“+‘“=c‘2.知b,=1.,先证(kt)如若不然假设a,,‘,e,,a,,‘,从而〔b〕任A故〔ddb。‘,a,,e。e+bd〕即〔b〕为一勾股数的导出组,t)=
5、d>,=l,(k1则kda,b,c〕,ab一2定理3若〔任A则与,c。奇一偶为奇数e一b=Z,,,Z.=1kd而(kk)=1由b证明由〔a,b,e〕〔a,b)22A知(=,a。1=:一:,.从而与b不可能同偶今证亦不可能同(Zk一Zt)k一t二(kk)d知d!b又因。,a=x+i,=,,奇如若不然假设ZbZy+zaZ=e“一Z=e+e一=l:Zb(b)(b)4kkd1984年第一期ZaZ,a.a,,a+e,ae,ae,从而d!即d}于是(b)=d则4}b()但为奇数4+Z故a,=1,,t)=1,这与(b)矛盾故(kc,二ZaC十c)二加即b.b.(a不可能成立即d=1a+
6、C由a“=e“一Z=e+e一。b(b)(b)不可能成立=·,ZkZt=4kt,a,,c。综上所述b不可能成调和级数,=,。及(kt)1从而k与t均为平方数同法可证a,b,c的其它排列次序亦不可能=,112,t=nZ,a皿=4m2n2,a=。故可设k而成调和级数2,=一t=么一nZ,e=+t=Z+nbkmkm气定理a,a=,pq,批了设为奇数且Pq>,t)=zIn,n=1;a,d)、。由(k知()由(pq均为正整数=13“一nZ,,n及定理知m为奇数而m一奇(1)当(p,q)=k>1时,由。一偶,一l,:=里(p+q)n=1(p一q)(3定理5三数成等差级数的勾股数基本22
7、,,,,组只有〔345〕a,e;决定的〔b〕去户a一,a,a+,1证明设〔dd〕任A贝1(p,q=1,3)2)当()时由(式决定的a一,a,a+。dd成等差级数由a,,e,p。〔b〕任A的充要条件是>(1+训2)qa一“+aZ=a+“,:(d)(d)得1)a=rqp,q证明(由为奇数知均aZ,aa一.一4ad=0了4d)=0。D,q)=k>,p=,,为奇数由(1可设kpa午,a=.:因。有4d从而三数为q=kq,,p‘,q,,k必为奇数,p,,其中巨(a一=,,a+.d3d4dd二sd/=1.,‘/.q)由p>q知p>q而又因
