第17讲 勾股定理和勾股数组.doc

《第17讲 勾股定理和勾股数组.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第17讲勾股定理几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。                ——开普勒知识方法扫描勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用。它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算是一种重要的数学方法。勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直。经典例题解析例1．已知△ABC中，∠C=90°，D，E

2、分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．证明由勾股定理得AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例2．（1988年上海市初三数学竞赛题）如图，在凸四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_____．解连结AC，设AB=2k，则BC=2k，CD=3k，DA=k.在Rt△ABC中，在△ACD中．,例3．（2001我爱数学初中生夏令营

3、试题）点D、E分别为△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么，AB的长等于________。解由DE∥AB，得记＝k，＝m，则有CE＝2k，CB＝3k，CD＝2m，CA＝3m。因∠C为直角，故由勾股定理，得CE2＋CA2＝AE2，CD2＋CB2＝BD2，即两式相加，有k2＋m2＝因此AB2＝BC2＋CA2＝9k2＋9m2＝于是AB＝评注设比例因子k与m，可使线段用长度表出，以便利用勾股定理求出线段之长。例4．(2003第1届“创新杯”数学邀请赛试题)在直角三角形ABC中，∠C=90º，I是ΔABC的三条内角平分线的交

4、点，过I作ID⊥AB于D，若BD=m，CD=n，那么ΔABC的面积为.解因I是ΔABC的三条内角平分线的交点，故I到三边的距离相等，作IE⊥AC，IF⊥BC，显然△AID≌△AIE，△BID≌△BIF，△CIF≌△CIB，于是BF=BD=m,AE=AD=n.设CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r)2+(m+r)2=(m+n)2.化简得r2+mr+nr=mn.ΔABC的面积=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn.例5．(2003年北京市中学生数学竞赛试题)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直

5、角三角形三边的长。解设a，b分别为两个直角边，则斜边c=，由于a,b,c均为正整数，所以a≠b，不妨设a>b.依题意有a+b+=，两边平方整理得：，消去ab，得。即(a-4)(b-4)=8=8×1=4×2。由于a,b为正整数，a>b,则或所以a=12,b=5,c=13或a=8,b=6,c=10.例6．（2002年上海初中数学竞赛试题）若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是________。解设Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边BC＝a，AC＝b，则BC边上的中线长为，AC边上的中线长为，依题意，得m＝＝，即m2＝，亦即＞0。所以（4m2－1）（m2

6、－4）＜0，解得＜m2＜4，故＜m＜2。例7．如图,AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．证明过A引AD⊥BC于D．由勾股定理，AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BM•MD+MD2AC2=AD2+CD2=AD2+(MC-MD)2=AD2+MC2-2MC•MD+MD2．注意到BM=CM，故AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)．评注(1)如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三

7、角形三条中线长的公式．,,(2)涉及到含有线段的平方证明题，在初二的学习范围内，多是用勾股定理作为工具来证明的。在解答此类问题时所用的辅助线，最常用的是作三角形的高，有时还要用到某些几何变换，如平移，旋转，对称等等。例8．（1978年中国科学技术大学少年班入学试题）设M是△ABC内任意一点，MD⊥AB,ME⊥BC,MF⊥CA,又BD=BE，CE=CF,求证:AD=AF.分析这里有很多垂线，很自然地想到勾股定理。证明如图，连结MA，MB，MC。由条件中的垂直关系，有AD2=DD12+AD12=BD2-BD12+AM2-MD12=AM2+BE