复杂网络上传染病动力学概述

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1、复杂网络上传染病动力学概述张海峰haifeng3@mail.ustc.edu.cn提纲传染病动力学基本概念复杂网络上传染病动力学的基本结果与推广个体、社会行为反应对传播行为的影响总结与展望一、基本概念专业名词S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢复者、移除者）;V-vaccinated(接种者）;E-exposed（暴露但不具有感染性，或称潜伏）。SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还可以再被感染）（感冒等）SIR模

2、型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传播网络中被清除了）（天花等）SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，还会再次回到易染状态。（乙肝？）基本微分方程SIR的微分方程SIS的微分方程更一般的模型，可以考虑人口数量变化的、传播率变化的、多种群的、时间滞后的、加入媒介的、加入接种措施的，等等。二、复杂网络上的疾病传播①感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t)ρ(t)：传播过程中,感染节

3、点总数占总节点数的比例。ρ：传播到稳态时（）感染密度的值,称为稳态感染密度。②有效传播率λ(=/)λ非常小（很小，很大），传播达稳态时，所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度ρ=0。反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围）ρ0。把稳态感染密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界值）λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。复杂网络上研究的主要参量

4、均匀网络中的SIS模型Ⅰ.均匀网络：Ⅱ.解析模型三个假设：①均匀混合假设：感染强度和感染个体密度成比例。即：和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1，因为这只影响疾病传播的时间尺度；②均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均度；③规模不变假设：不考虑个体的出生和自然死亡运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率被感染节点以单位速率恢复健康单个感染节点产生的新感染节点的平均速度，它与有效传播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比例，（其他的高阶校正项忽略了）

5、。当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0；即：-ρ+ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ+λρ）=0；ρ（ρ-）=0；当λ<时，ρ-必大于0，所以ρ=0；当λ时，ρ=；所以，即为临界传播值，记=。结论：在均匀网络中存在一个有限的正的传播临界值λc。如果有效传播率λλc，则病毒可以在网络中传播开来，并最终稳定于,此时称网络处于激活相态；如果有效传播率λ<λc，病毒感染个体数呈指数衰减，无法大范围传播，最终将不能传播,此时网络称为吸收相态。无标度网络中的疾病传播Ⅰ.无标度网络：具有幂律度分布的网

6、络，即：；网络中节点的度没有明显的特征长度Ⅱ.解析模型无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的波动性，定义一个相对感染密度：度数为k的感染节点数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密度记为。平均感染密度：稳态平均感染密度：∝同样我们能采用MF理论来求的变化率得:度为k的节点相对感染密度的变化方程为：：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概率任意一条给定边指向度为k的节点的概率为（与度为k节点关联的边数与总边数的比值）则任意一条给定边指向度为k的感染节点的概率为从而，根据稳态条件，可得：把（1

7、）代人（2）可以得到如下自洽方程有一个平凡解如果该方程要存在一个非零稳定解，需要满足如下条件：结论：对于SF（无标度）网络，节点度数具有很大的浮动性，当,导致，从而特别地，作为SF网络的一个典型例子，考虑BA无标度网络。BA无标度网络的传播临界值BA无标度网络：(1)增长特性，(2)优先连接特性（富者更富，或马太效应）度分布，平均度　　　　　其中m是网络最小度将平均度，度分布，以及带入，可得：又因为化简后得：当λ=0时，有当λ>0时，有结论：BA无标度网络在SIS模型下的只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并

8、将达到一个稳定感染水平，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性WS网络与BA网络的比较总结1.SIS模型在均匀网络中，存在一个传播临界值　　　　。当　　　时，疾病在时间演化过程中逐渐衰减，最终被灭；当　　　时，疾病在时间演化过程中传播开来，并稳定于某一　值（稳态感染密度）：2.SIS模型在SF网络中，传播临界值：只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一稳定感染水平