斯勒茨基方程

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1、·斯勒茨基方程  一、斯勒茨基方程要解决的问题  研究斯勒茨基方程主要目的是要解决两个问题:一是将价格变化的总效应分解为两部分,即替代效应和收入效应。二是要解决希克斯替代效应(或希克斯需求)的不可度量问题。解决不可度量问题也有两种方法:第一种方法是用斯勒斯基替代效应替代希克斯效应;第二种方法是通过马歇尔需求来求希克斯需求,这就是方程要解决的问题。其表明希克斯替代效应(或者希克斯需求)等于马歇尔需求减去收入效应。  二、斯勒茨基方程的推导--方法一  即根据斯勒斯基需求和希克斯需求的定义,可以直接利用

2、微分方法得出方程的解:1.根据斯勒斯基需求的定义推导方程  假设原价格为时的需求为,故。当新价格为时,使得原消费束仍然支付得起的需求即为斯勒斯基需求,表示为,这时使得原消费束支付得起的收入为:。  根据斯勒斯基需求的定义有如下恒等式:  由于二者的购买力相同,即的购买力与的购买力相同,所以从购买角度看可以将上式写成:。对其求关于的微分可以得到:移项后得到:总效应替代效应收入效应      (马歇尔需求)(斯勒茨基需求)2.根据希克斯需求定义推导方程:  希克斯需求是指在新价格条件下,维持原有效用水平

3、不变时的需求。由于效用最大化和支出最小化之间的对偶性,它一定等于在新价格下维持原效用水平不变的最小支出时需求,因此有恒等式:其中,m是维持原效用水平的最小支出,它可以通过求支出最小化来得到,即。求上式的关于的一阶导数得:移项后可以得到:        马歇尔需求希克斯需求收入效应  (三)斯勒茨基方程的推导--方法二  即利用效用最大化的一阶导数条件来求解斯勒斯基方程。  首先,跟据效用最大化问题····  设拉格朗日函数,并求其一阶导数条件,得:  其次,对一阶导数求全微分,即考察在满足一阶导数的

4、前提下,所有变量得变化可能对均衡的影响。令:,整理后可以得到:  方程组中有三个未知数:,将等式右边看作常数,这样可以考察价格变化时,的变化。  再次,利用克莱姆法则求解和:设即加边海赛矩阵(或系数矩阵和替代矩阵)。分别将前面等式右边的常数项替代各列系数矩阵中的向量,并用第一列展开,得其中,,,分别为第i行第一列代数余子式。其中,分别为i行第二列代数于子式。  根据克莱姆法则:  (1)由于m是给定的,故dm=0。假定P1变化而P2不变,有dP2=0。对两边除以dp1,得:  (2)假定价格变化,对

5、两边除以dm得:其表示的是x1相对于收入m的变化率,或者说每增加或减少一元钱所带来的需求x1的变化。带入上式得:  (3)在希克斯替代效应条件下,效用水平不变,故,即。根据消费者均衡条件,所以有:,即。又根据二阶导数的最后一个方程,当时,。因此,假定p2不变,u为常数时:  由于,故。所以,就是维持原效用水平不变的替代效应。由此可得:        马歇尔需求=希克斯需求+收入效应·······

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