平面图形的几何性质

《平面图形的几何性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平面图形的几何性质基本要求1.理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。2.熟练掌握平行移轴定理及其应用。3.熟悉组合图形的几何性质计算。一、静矩分别为图形对z轴和y轴的静矩。说明：1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。2、静矩的数值可正可负，也可以为零。3、静矩的单位：mm3或m3。yzOdAyz定义面积对轴的一次矩§Ⅰ-1截面的静矩和形心位置形心与均质薄板的重心相同二、形心即:从而：推论1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒

2、等于零，即：轴过形心<==>S该轴=0yzOdAyzzCyCC求所示图形对y轴的静矩zyzORz+dz解法1：例题1解法2：yzOrθdθrdθr+dr试想想还有没有其它方法？yzO三、组合图形的静矩和形心1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：其中：Ai，yi，zi分别代表第i个图形的面积和形心坐标，n为分割成的简单图形的个数。2、组合图形的形心坐标其中：yc、zc为组合图形的形心坐标，Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩,A为组合图形的总面积,1002014020①②求所示图形的形心位置例2由于z轴是对称轴解：（3）其

3、大小不仅与平面图形的形状、尺寸有关，而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关。平面图形的面积相对坐标轴越远，其惯性矩越大；反之越小。一、惯性矩定义图形面积对某轴的二次矩特点：（1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4、mm4。（2）惯性矩恒为正值。yzOdAyz§Ⅰ-2极惯性矩·惯性矩·惯性积其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径。（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和:（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积,即或（2）由于ρ2=y2+z2,所以有Ip=Iy+Iz,即平面图行对通过一点的任意一对

4、正交坐标轴的惯性矩之和均相等,并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。二、极惯性矩定义图形面积对某点的二次矩：特点：（1）具有惯性矩的特点。yzOdAyzρ三、惯性积定义yzOdAyz图形对一对相互垂直的轴的矩特点:(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4、cm4、mm4.(2)其值可正、可负，可为零。(3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。(4)形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩四、几个主要定义(1)主惯性轴：Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩。可以证明：

5、任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。求所示图形的形心主惯性矩例3解：求所示图形的形心主惯性矩例4解：同理，对于空心圆：一、惯性矩的平行移轴公式C为形心，y、z为原坐标轴，yc、zc为过形心C分别与y、z平行的坐标轴yzOzcycC§Ⅰ-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式(1)两平行轴中必须有一轴为过形心轴。(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。则有：说明：yzOzcycC二、惯性积的平行移轴公式说明：不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a、b（形心坐标）

6、可正可负，其符号由其所在象限确定。yzOzcycC三、组合图形形心主惯性矩的计算3、利用平行移轴公式，叠加1、确定组合图形的形心主惯性轴2、求各组成图形分别对自身形心轴yi、zi轴的惯性矩,yi、zi轴分别平行与y、z轴。a.确定形心b.确定形心主惯性轴例5：试计算图示截面的形心主惯性矩。解：（1）确定形心及形心主惯性轴。由于y、z为对称轴，故y、z都为形心主惯性轴。（2）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩。（3）计算组合图形的形心惯性矩。③①②3003027050例6：试计算T形截面的形心主惯性矩。CC1C2zyyc解：（1）确定形心及形心主惯性轴。由于z为

7、对称轴，故yc、zc都为形心主惯性轴。（2）计算两矩形对自身形心C1、C2的惯性矩。（3）计算形心惯性矩。附录结束