附录A+平面图形的几何性质

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1、附录A（目录）材料力学附录A平面图形的几何性质§A.1形心和静矩§A.2惯性矩惯性积惯性半径§A.3平行轴定理§A.4转轴公式主惯性矩附录A平面图形的几何性质几何性质的定义平面图形的几何性质——反映平面图形的形状与尺寸的几何量如：本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质1.在轴向拉（压）中：2.在扭转中：附录A平面图形的几何性质§A.1形心和静矩（目录）§A.1形心和静矩一、静矩二、形心三、组合图形的静矩和形心四、静矩的性质§A.1形心和静矩一、静矩一、静矩整个图形A对x轴的静矩：整个图形A对y轴的静矩：ydA——微面积dA对x轴的静矩

2、xdA——微面积dA对y轴的静矩定义：（面积矩）其值：+、-、0单位：m3§A.1形心和静矩二、形心二、形心（各分力对任一轴的力矩之和等于其合力对同一轴的力矩）有则xdA和ydA相当于力矩由合力矩定理将微面积dA看作是力§A.1形心和静矩三、组合图形的静矩和形心（组合图形）三、组合图形的静矩和形心组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等）组成的平面图形如：§A.1形心和静矩三、组合图形的静矩和形心（1.静矩；2.形心）1.静矩2.形心三、组合图形的静矩和形心§A.1形心和静矩四、静矩的性质（性质1）四、静矩的性质形心轴图形对形心轴的静矩为零—

3、—通过图形形心的反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴性质1：坐标轴若§A.1形心和静矩例1例1确定图示图形的形心坐标解：取参考坐标系xy性质2：对称轴必为形心轴附录A平面图形的几何性质§A.2惯性矩惯性积惯性半径（目录）§A.2惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积二、惯性矩与极惯性矩的关系三、惯性积的性质四、惯性半径§A.2惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积（1.惯性矩）一、惯性矩与惯性积整个图形A对x轴的惯性矩整个图形A对y轴的惯性矩y2dA——微面积dA对x轴的惯性矩x2dA——微面积dA对y轴的惯性矩定义：其值：+单位：m4

4、1.惯性矩§A.2惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积（1.惯性积）整个图形A对x轴和y轴的惯性积定义：xydA——微面积dA对x轴和y轴的惯性积的坐标轴其值：+、-、0单位：m4假设：x轴和y轴为一对相互垂直一、惯性矩与惯性积2.惯性积§A.2惯性矩惯性积惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系（性质2）二、惯性矩与极惯性矩的关系即：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和性质2：若x、y轴为一对正交坐标轴§A.2惯性矩惯性积惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系（1.矩形截面的惯性矩）1.矩形截面常用图

5、形的惯性矩：§A.2惯性矩惯性积惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系（2.圆形与环形截面的惯性矩）2.圆形截面由对称性3.环形截面常用图形的惯性矩：§A.2惯性矩惯性积惯性半径三、惯性积的性质（性质3）三、惯性积的性质当x、y轴中有一轴为对称轴在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。性质3：§A.2惯性矩惯性积惯性半径三、惯性积的性质（特别指出）惯性矩——对某一轴而言极惯性矩——对某一点而言特别指出：惯性积——对某一对正交轴而言§A.2惯性矩惯性积惯性半径四、惯性半径——图形对x轴的惯性半径单位：m四、惯性半径在力学计算中

6、，有时把惯性矩写成即：——图形对y轴的惯性半径§A.2惯性矩惯性积惯性半径四、惯性半径（注意）注意：试问：即：四、惯性半径附录A平面图形的几何性质§A.3平行轴定理（目录）§A.3平行轴定理一、定理推导二、应用§A.3平行轴定理一、定理推导一、定理推导即：§A.3平行轴定理一、定理推导（性质4）显然：性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理——惯性矩和惯性积的平行轴定理一、定理推导§A.3平行轴定理二、应用二、应用§A.3平行轴定理例2（求IXC）解：例2求和而§A.3平行轴定理例2（求IyC）解：例2

7、求和附录A平面图形的几何性质§A.4转轴公式主惯性矩（目录）§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导二、主惯性矩§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导（两坐标系之间的关系）一、公式推导规定：角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：代入§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导（转轴公式）一、公式推导规定：角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导显然一、公式推导§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导（性质5）性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。一、公式推导显然§A.4

8、转轴公式主惯性矩二、主惯性矩（1.定义，性质6）二、主惯性矩1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心