a附录A平面图形的几何性质

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1、附录A平面图形的几何性质Geometricalpropertiesofplanegraph1拉压正应力扭转切应力弯曲正应力计算应力通常要用到构件截面的几何参数附录A平面图形的几何性质(Geometricalpropertiesofplanegraph)2统一式m+n=0零次矩(或面积)Momentofzeroorderm+n=1静矩(或一次矩)Momentofthefirstorderm+n=2惯性矩、积(或二次矩)Momentofthesecondorder目的——1、为扭转、弯曲问题的求解铺平道路2、统

2、一截面几何性质3静矩（一次矩）(z,y)yozdA面积AA-1形心、静矩、重心对z轴：对一个轴而言，静矩可为正、负或零。量纲：[长度]3对y轴：yz4平面图形形心坐标公式均质物体的重心与形心重合形心——使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点。5组合图形的形心6有对称轴图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该对称轴上。yCz有两个对称轴：形心C位于两个对称轴的交点。zyC7czyCC2C1btt求组合图形的形心坐标C1的坐标:解：先将图形划分为规则图形的组合建立坐标系例1求图示组合图形的形心坐标，已知b,c,t

3、.C2的坐标:C的坐标:8求C的坐标：求组合图形的形心坐标算例czyCC2C1btt910注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上;注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，但要记住面积为负号.zyC2C“负面积A2”面积A1C111惯性矩（Momentofinertia)惯性积(Productofinertia)ozydA面积AzyA-2惯性矩、极惯性矩与惯性积——二次矩极惯性矩(Polarmomentofinertia)(对原点)12（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，

4、两个惯性矩之和等于不变的极惯性矩Ip值惯性矩、极惯性矩与惯性积的一些性质（1）惯性矩为正，即（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零（4）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和CzCzyyC13(3)证明Ip=Iy+IzOzyyAz14坐标转动不改变极惯性矩Z1Y1Z2Y2OA15例2求圆截面对y、z轴的惯性矩设圆截面直径D，则圆方程为zy或：极惯性矩的一半：解：16例3求矩型截面对其对称轴y、z的惯性矩取狭长条作为微圆面积dAzycbhdy解：则：同理：17问题的提出工程问题的许多截面（工字、丁字、槽

5、形等）是简单截面（如矩形）的组合，总惯性矩=分惯性矩之和，而分惯性矩在各自的形心坐标系中计算.将分惯性矩转换到总形心坐标系时，要考虑坐标系转换的影响.分坐标系与总形心坐标系通常是平行关系，于是就抽象出惯性矩计算的平行移轴问题。A-3平行移轴公式18已知：计算：oC(b,a)zyabdA面积A19回忆：形心的定义同理若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩必等于零惯性矩和惯性积的平行移轴公式20例4矩形1矩形2已知：计算截面对轴过形心的z轴的惯性矩。bthtzCyz2C2ycz1C1(y1,y2)1、图形分块

6、计算解：21矩形1矩形22、求形心位置（可取yz2为基轴）：bthtz2z1zC1C2Cyyc(y1,y2)22确定移轴量（a,b)z1到z轴的距离:z2到z轴的距离:3、用平行移轴定理矩形1对z轴的惯性矩:矩形2对z轴的惯性矩:整个截面的惯性矩：bthtz2z1zC1C2yycC23z1y1OAzyHBCDEFG转轴问题对弯曲受力合理性很关键*A-4转轴公式、主惯性轴和主惯性矩已知：截面对y、z轴的惯性矩、惯性积求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积24坐标转换的矩阵形式25同理有：26意义——对于给定

7、的截面，选择坐标系使惯性矩最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小说明惯性矩取极大（或极小）时，惯性积等于零27由方程确定两个相互垂直的轴——主惯性轴z1y1Ozy说明：1、惯性矩极大与惯性矩极小的坐标轴互相垂直；2、这两个坐标轴——主惯性坐标系求解出28主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩得到一大一小两个主惯性矩：主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩29小结1.Iz、Iy恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关;2.对形心轴静矩为0，对称轴Iyz=0，对

8、称轴就是形心主惯性轴;3.平行移轴公式中，说明截面对形心轴的惯性矩最小;4.主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一；主形心惯性矩一个为最大，一个为最小30问题1、实心圆轴的惯性矩Iz=Iy=()，极惯性矩Ip=()3、矩型截面的惯性矩Iz=().D4/64D4/32bh3/122、空心圆轴的惯性矩Iz=Iy=()，极惯性矩Ip=()(D4-d4)/64(D4-d4)/3231问题4、平面图形对某一对正交坐标轴