附录 平面图形的几何性质

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1、附录I平面图形的几何性质§I−1截面的静矩和形心的位置ydA1.静矩Sx=∫AydACS=xdAyy∫AyC∫ydAxAOx2.形心y=CCAx∫xdAAxC=A图形对某轴的静矩S为零，则该轴一定过图3.形心与静y=xCS=y•A形的形心；某轴过图形矩的关系AxC或的形心，则图形对该轴SS=x•Ax=yyCCA的静矩为零。4、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心S=S=AySx∑AiyCix∑xi∑iCiyC==∑Ai∑AiSy=∑Syi=∑AixCiSy∑AixCix==C∑Ai∑A

2、i例I−1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标y。C解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，22dA=2r−y•dyyr2223dyS=ydA=y(2r−y)dy=rdA所以x∫A∫033CryS2r/34ryCy=x==OxC2Aπr/23πyy110例I−2求图示图形的形心。200解：将此图形分别为I、II、III三10部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，300IC过II、III的形心且与y轴垂直的轴线IIyx1150Cx取为x轴，则OIII∑AiyCiy=C∑Ai(200×10)×(5+150)+2×(10×300)×0=2

3、00×10+2×(10×300)=38.8mm由于对称知：x=0C§I-2极惯性矩惯性矩惯性积1.极惯性矩：y2I=ρdA为图形对一点的极惯性矩；p∫AdA2.惯性矩：2yρI=ydAx∫A分别为图形对x、y轴xI=x2dA的惯性矩；y∫AOx3.惯性积：I=xydA为图形对x、y一对正交轴的惯性积；xy∫A4.①惯性矩与极惯性矩的关系：222I=ρdA=(x+y)dA=I+Ip∫A∫Ayx平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；③若图形有一个对称轴，则图形对

4、包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩⑤如将dA看成质量dm，则I、I、I分别为平面体对x、yxyp、原点的转动惯量。ydy例I−3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩I、I和惯性积I。xyxyh/2dAy解：平行x轴取一窄长条，x其面积为dA=bdy，则C32h/22bhh/2I=ydA=y(bdy)=x∫A∫−h/2123b/2b/2hb同理可得I=y12又因为x、y轴皆为对称轴，故I=0。xy例I−4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径y轴的惯性矩I、I及对圆心的极惯性矩I。xyρdρ解：首先求对圆心的极惯性矩。ρ

5、在离圆心O为ρ处作宽度为dρ的薄圆环，其面x积dA=2πρdρ，则C42d/22πdI=ρdA=ρ(2πρdρ)=ρ∫∫A032d由于圆形对任意直径轴都是对称的，故I=Ixy注意到I=I+I，得到ρxy41πdI=I=I=xyρ264§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积一、平行移轴公式2.平行移轴公式1.公式推导2I=I+aAxxC2Iy=IyC+bAI=I+abA3.注意：xyxCyC①x、y轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴CC的惯性矩最小；②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。二、组合图形的惯性矩：n

6、nnIx=∑Ixi，Iy=∑Iyi，Ixy=∑Ixyii=1i=1i=1已知：IxC、IyC、IxCyC，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、IxyyyCIx=∫y2dA=∫(a+yC)2dA=∫(a2+2ay+y2)dAAAACCx=a2∫dA+2a∫ydA+∫y2dAbxCAACAC∫dA=A，∫ydA=0，∫Ay2dA=IxAACCCdA2∴Ix=Ix+aAyCCCxC同理：Iy=Iy+b2ACyaxOIxy=∫AxydA=∫A(b+xC)(a+yC)dA=∫A(ab+axC+byC+xCyC)dA=ab∫AdA+a∫AxCdA+b∫AyCdA+∫Ax

7、CyCdA∫AdA=A，∫AxCdA=0，∫AyCdA=0，∫AxCyCdA=IxCyC∴Ixy=Ixy+abACC530例I−5求图示T型截面对形心轴的惯性矩。30例I−6已知三角形对底边(x轴)的惯性1矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平5行的x2轴的惯性矩。x2解：由于x、x轴均非形心轴，所以12不能直接使用平行移轴公式，需先求出三hxC角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的h/3x1惯性矩，即进行两次平行移轴：b3232bhhbhbhI=I−aA=−=xCx111232363