平面图形的几何性质计算

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1、平面图形的几何性质第一节概述1.1研究平面图形几何性质的意义材料力学中研究的杆件，其横截面是各种形式的平面图形，如矩形、圆形、T形、工字形等。我们计算杆件在外荷载作用下的应力和变形时，要用到与杆横截面的形状、尺寸有关的几何量。例如在扭转部分会遇到极惯性矩IP，在弯曲部分会遇到面积矩S、惯性矩IZ和惯性积IYZ等。我们称这些量为杆横截面图形的几何性质。1.2定义图I-1表示杆件横截面面积为A的任意平面图形，若在坐标为（y，z）处取出一微面积dA，则此平面图形的一些几何性质可用数学式定义如下。（1）面积矩（I-1-1

2、）（2）惯性矩（I-1-2）（3）惯性积（I-1-3）（4）极惯性矩（I-1-4）另外还有抗扭截面横量WP，抗弯截面模量Wz,惯性半径r等。下面分别作比较详细的介绍。第二节面积矩和形心位置图I-2（a）为一任意形状的平面图形，设要求其形心C的位置（）。若我们将平面图形看成是一极薄的匀质板，则板上各点将受到平均分布的地心引力作用。设单位面积所受的重力为q，则微面积上所受的重力。整个薄板所受重力的合力R应为各微面积所受重力的总和，即式中的A为图形的总面积，合力R作用在形心C上。根据合力矩定理，合力R对点O的矩等于各分

3、力对点O的矩的代数和，可得故（a）因形心在平面图形上的位置是不变的，故将截面旋转90°到图I-2（b）所示位置时，同样可求得形心的另一坐标为（b）面积取得越小，用式（a）和（b）计算的形心坐标就越准确。故在极限情况下，计算任意平面图形形心坐标的精确公式可用积分式表示如下：（I-2-1）不难看出，上式中的和即为式（I-1-1）中的面积矩和，即为平面图形的总面积A。故式（I-2-1）也可写为（I-2-2a）或（I-2-2b）式（I-2-2b）表明：平面图形对某一轴的面积矩，等于平面图形的面积与平面图形形心到该轴距离的

4、乘积。当平面图形形心的位置已知时，采用式（I-2-2b）计算面积矩是比较方便的。需要指出的是，因平面图形形心的坐标值和可能为正、为负或等于零，故面积矩的值也可能为正、为负或等于零。例如某一z轴是通过平面图形形心的轴，则此图形形心对z轴的坐标＝0。由式（I-2-2b）可知，图形对此轴的面积矩即平面图形对于通过其形心的轴的面积矩为零。例题I-1图I-3中的曲线OB为一抛物线，其方程为。试求面积OAB的形心坐标和。解取与y轴平行的狭条（图中画有阴影线部分）为微面积，故，微面积的形心坐标为z和，由式（I-2-1）可求得面

5、积OAB的形心坐标为例题I-2如图I-4所示的矩形，yo轴和zo轴都通过其形心C。试求图形在点a所在水平线以上的面积对z0轴的面积矩。解点a所在水平线以上的面积Aa＝200×（200-150）＝10000mm2面积Aa的形心坐标代入式（I-2-2b）的第二式，可得其面积矩若平面图形是由几个简单图形（例如矩形、圆形、三角形）所组成的，则根据面积矩的定义，可将积分分成几个部分来进行，即可将式（I-2-2）改写为如下形式：例题I-3图I-5表示一T形截面，z0轴、y0轴是通过其形心的轴。试求：（1）z0轴以上面积对z0

6、轴的面积矩；（2）整个T形面积对z0轴的面积矩；（3）T形内点a所在水平线以上面积对z0轴的面积矩。解（1）求z0轴以上面积对z0轴的面积矩把z0轴以上的面积分成1、2两个矩形。矩形1的面积矩形1的形心C1距z0轴的距离矩形2的面积矩形2的形心距z0轴的距离由式（I-2-3）可得（2）求整个T形面积对z0轴的面积矩把整个T形分为1、2、3三个矩形，矩形1、2对z0轴的面积矩已在上面求出，现在只需再求出矩形3对z0轴的面积矩。矩形3的面积矩形3的形心到z0轴的距离故整个T形对z0轴的面积矩为这又证明了前面提到过的

7、任何平面图形对其形心轴的面积矩为零。（3）求T形内点a所在水平线以上面积对z0轴的面积矩点a所在水平线以上面积，即为矩形1的面积，故其通过本节的讨论，可知平面图形面积矩有如下的一些特征：（1）平面图形的面积矩是平面图形对某一定轴的面积矩，同一图形对不同的轴一般有不同的面积矩。（2）因平面图形形心的坐标值可能为正、为负或等于零，故面积矩的值也可能为正、为负或等于零。（3）平面图形对其形心轴的面积矩为零，反之，平面图形对某轴的面积矩为零时，则该轴一定为形心轴。（4）面积矩的单位是长度的三次方，如mm3。第三节惯性矩、

8、惯性积和极惯性矩下面通过一些例题说明用式（I-1-2）、（I-1-3）、（I-1-4）计算一些简单图形的惯性矩、惯性积和极惯性矩的方法。例题I-4试求图I-6所示矩形对y轴、z轴的惯性矩Iy、Iz以及惯性积Iyz和对坐标原点O的极惯性矩Ip。解（1）求矩形对y轴的惯性矩Iy和对z轴的惯性矩Iz如图I-6（b）所示，取与y轴平行的狭条作为微面积，代入式（I-1-2）的第一式