2010级数分第1学期期中考试解答

《2010级数分第1学期期中考试解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数分期中考试参考解答2010年11月10日.填空题(每小题4分，共16分)1.函数，⑺=(eA+,e)SinX的间断点是X=0,1，其类型分别为第一类(跳跃)间断点x(ev-e)x=cost+COS和第二类间断点.2.曲线’上对应于f=三的点处的切线斜率为1-人y=1+sinZ43.设函数yx2-l,则y(2010)(0)=—2010!，4.已知函数/(x)在任意点又处的增量A/=(arctanx2)Av+6?(Ar),又y=/(2x-1)，则d)’

2、-oI1"*二.单项选择题(每小题3分，共15分)CL1.设正数列｛人｝满足limi=0,则n—nn(A)hmatl=0.(B)liman

3、=C>0.(0hman不存在.(D){atJ}的收敛性不能确定./J—>oo2.设函数，(jv)=-sin丄，则当x40时，XX(A)/(x)存在有限极限.(0/(X)无界，但不是无穷大.(B)/G0无极限，但有界.(D)/(x)是无穷大.3.当％40时，与ln(cosx+2x2)等价的无穷小是(A)~2⑻；V2•⑹普X2(D)2x24.设/(%)在x=0的某邻域内可导，且/(0)=0,/)〉0,则35〉0,使得…(B)(A)对Vxe(0,5)有/’(x)〉0.(B)对Vxe(0，J)有/(x)〉0.(0对Vxe(—么0)有尸(x)>0.(D)对Vxe(一J，0)有/(x)〉0•AY

4、〉05.设函数?’，则/(x)在x=0处x9x<0(A)可导.(C)右可导而左不可导.(B)左可导而右不可导.(D)连续但不可导.三.判断题(正确的给出证明，错误的举出反例说明.每小题6分，共12分)1./在(“，/?)内连续GV［汉，別<=(“,/?)，/在［汉，夕］上连续.正确.必要性对［汉，川<=(“，/?)，由./‘在(6Z,Z?)内连续知，/在及处连续，故/在［a，夕］上连续.充分性V%0G(6Z,/?),3［6Z,/?］(Z(«,/?)：xoG(6T,y9),由己知知，/在XQ处连续，故/在(6Z，/?)内连续•2.若函数/(x)在(0，+oo)上可导，且lim/(x)=oo

5、,则必有lim/'(%)=oo.X—>400错误.反例：/(x)=lnx,xg(0,+oo).易见limf(x)=00,但limfx)=0^^o四、计算题(每小题9分，共27分)1.设函数/(x)=lim［时％+1小+aY+(1)求/(勾的表达式(无极限符号)；em+1(2)试确定常数4/7,使/(X)在％=0处可导.ln(x+l)，%>0解(1)f(x)=x=03分ax+b，x<0(2)先考虑/fx)在x=0处的连续性，由/(0-0)=/(0)^b={-故b=0；6分再考虑/(x)在x=0处的可导性，由f(0)=lim-—-———=lim——=a，X40-XX/；(0)=Ihn，

6、⑷-，(0)二lim1，X—0+XA-»0+X及r(o)=/;(o),解得a=,b=0.9分2.设方程&?+5111义-}=0确定了函数夕=)，(>¥)，求立dx解原方程两端对X求导，得evv(y+xy')+cosx-/=03分因当x=0时y=l,以x=0代入上式，解得/(0)=2.将上式两端再对x求导，得cxy(y+xy)2+cA?，(2/+xj*)-sinx-^=O再以*=0代入上式，解得/(0)=5.-6分■9分3.令;c二sinz,以f为新自变量，试变换方程（1—%2）二4—x=+i＞，=0（6Z为常数）.dx"dx•3分ffy=ddrdy)dt2(ZZsecz——=—sect

7、———=sec"tdxdzdt-+c^y=O.arcsinx.•9分⑴证明：(1-X")/-A)'=1;(2)证明:(1-%2)y(H+,)-(2«+l)xy(,t)-n2y{n^=0(«>1)；(3)求y⑻(0)解⑴arcsinx=7^7arcsinx~XVl-X2_1+Ay—1-x2•3分于是有（1一x2）/-xy=1.（2）对上式两边关于X求A2阶导数，有G(l-x2)y(w+1)十^

8、卜之又)/7)+C^(-2)/,-

9、)-a>’(w)-Cy"—1)=0,-6分整理后，得(1-x2)y⑽)-(2"+l)xy(n)-n2/卜u=0(n>l).⑶在上式屮令x=0,得/:+D(0)=n2/M)(0)(zt>l),于是，当n=2々—1（々g口）时，有)戸-"(0)=(2々-2)2y2^3)(0)=(2k-2)2(2k-4)2y(2I'_5)(0)=…=(2々一2)2(2々一4)2…22/(0)=[(2々一2)!!]2当^