数分竞赛训练（15）哈工大2009年数分考研试题及解答

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1、哈尔滨工业大学2009年数学分析考研试题一．（1）证明对，成立；（2）证明极限存在；（3）证明收敛，其中为不超过的最大整数.二．设为内有界函数，证明：在内一致连续当且仅当，其中.三．设，记，，则在上有定义且连续，并求出的简洁表达式.四．，.求证：，（1）；（2）.五．设，，满足，证明存在非负单调函数数列，使得，.六．对发散的正项级数，记，设，讨论的敛散性.七．设在上逐点收敛且具有性质：对，，当，时，对一切，有，用有限覆盖定理证明在上一致收敛.15五．设，，证明：当时，有收敛，且.六．（1）讨论函数在处的可微性；（2）求函数在下的最大值与最小值.十．（1）求使曲线积分

2、与路径无关，这里不通过轴.（2）计算，其中为为侧的部分.（3）计算，其中为曲线，从到的部分.哈尔滨工业大学2009年数学分析考研试题解答一．（1）证明：设，，由，，得在上严格单调递增，所以当时，有，即得，；设，，15因为，所以在上严格单调递增，于是当时，有，即得，，故对，成立.（2）证明：由（1）结果，对每一，有，令，即得有下界，由，得严格单调递减，根据单调有界定理，得收敛，即存在，故得存在.15（2）证明：设，，显然，，于是收敛等价于收敛，，，，显然收敛，即得收敛，于是收敛，故收敛.或者，，而收敛，所以收敛，故收敛.15二．证明：因为在内有界，存在，使得，，对任意

3、，利用拉格朗日中值定理，得，其中介于和之间，显然有,于是有，，由此可知在内一致连续当且仅当在内一致连续，在内一致连续当且仅当，结论得证.三．设在上连续，记，.则（1）在上一致收敛于；（2）在上一致收敛,并求其和函数.证明：因为在上连续，可设，，，，由归纳法，可推知，，显然，，15由于收敛，所以在上一致收敛.于是得在上一致收敛于；在上一致收敛，设，由于，所以也在上一致收敛，，，，.设在上连续，记，，则有（1）对任意，在上一致收敛于；（2），；（3）对任意，在上一致收敛.四．（1）证明：利用拉格朗日中值定理，存在，使得15，，，；（2）设，则有，，，，故有，结论得证.五

4、、证明，，易知，，15显然，，，，由，（1）若，若，则，若，则，当时，由，，由推广的罗尔定理，存在，使得；当时，取，，（2）若，当，时，，，又，（或者用保号性及介值定理，存在，使得），必有在某处达到最大值，；（3）当，时，，，又，（者用保号性及介值定理，存在，使得），必有在某处达到最小值，；综上所述，存在，使得，又，利用推广的罗尔定理，存在，使得，再由，，利用推广的罗尔定理，存在，使得，这样继续下去，得到存在非负的单调增函数数列，使得，结论得证.15六、设，，证明：（1）当时，收敛；（2）当，且时，发散。（3）当，且收敛时，收敛。证明对任意正整数，，（），因为，所以

5、，（1）当时，利用不等式，得，有界，故收敛；（2）当，且时，，无界，所以发散；当，且时，方法一，对任意大的，然后取充分大，就可使上式成立，于是不是基本列，故发散。15方法二因为，，从而发散，若不收敛于0，则发散，若收敛于0，则得，，（充分大），，于是发散。当，且时，发散；当，且时，因为，所以发散；（3）当，且存在有限，，，由于收敛，所以收敛；因为，，15从而，由收敛，得收敛。七．证明：由题设条件，知在上是等度一致连续的，又在上逐点收敛，即由Osgood定理，得在上一致收敛.(Osgood定理)设函数列在有限闭区间上连续,在上等度连续，如果,,则（1）在上连续,（2）

6、在上一致收敛于。证明由在上等度连续，得对,,当，，时,不等式，对所有成立，令，取极限得，，由此得在上连续；下面欲用“有限覆盖定理”。由,；对,，使得当时，有，由于在处连续及上等度连续，15必存在，使得当且，时，有，（1）于是这些区间的并构成的一个开覆盖。由有限覆盖定理知道，从中可以选出有限可开区间，它们仍能构成的一个开覆盖。即；，，，；（2）命，对任意，必存在中的某个开区间，使得，当时，有，（3）于是，当时，，对一切成立。这正说明了在上一致收敛。七．证明：，15由题设条件知有界，单调递减，，由Dirichlet判别法，收敛，即得收敛.利用Abel引理，，，令，取极限

7、，得，结论得证.七．（1）解：显然，，，考察，显然不存在，所以在处不可微；（2）解：，15，，，，，，再由，，，或者，驻点，，，，所以在下的最大值为，最小值为.或者利用Ccuchy-Schwarz不等式，等号成立当且仅当，即得在下面的最大值为，最小值为.十．（1）解：设，，积分与路径无关，，15，于是得.（2）解：.（3）解：设，因为，所以积分与路径无关，取积分路径为从到的直线段，.15