FreeKaoYan华东师大2007年数分考研试题及解答.doc

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1、华东师范大学2007年数分试题及解答一．判断题1.设在的邻域内有定义且有界，若不存在，则存在数列，，使得，而和都存在，但是不相等.解：正确，任取一包含于，收敛于的数列，由于有界，存在子列，使得收敛;但是由于不存在，及Heine归结原理（逆否命题），得到结论.2.设在有限区间上可导，且在上有界，则在上有界.解答：正确.设，，取定，我们有，在与之间，即得在上有界.3.设数项级数收敛，则级数收敛.解答：错.反例，收敛，而发散.4.设在上有连续的导函数，，，若，，，则对任意，.10解答：对.将零延拓至整个，记延拓后函数为，则按段光滑，且，，利用Fourier

2、级数收敛定理，即得结论.1.设在处连续，且，则在处可微.解答：错.考虑函数，显然在处连续，，但是在处不可微.二．计算题1.求；解：10；1.求，其中，为非零常数.解：.3.求级数的和函数和收敛区域.解：设，显然有，于是当时，收敛；当时，发散.显然收敛，当，或者时，收敛，故级数的收敛域是；10设，，，从而.4.设在上有连续的二阶导数，，求，，.解：由，知，，.5.求，其中是球面被平面，截得的球冠部分.解：，，，10.三．1.设是一列有界的正实数列，，求证：.证明：证法一对，，使得，当时，，由，对于上述，，当时，有，取，当时，有,故有.证法二由知，.10

3、对任意，当，有，从而，于是，故有.2.设是定义在上的函数，满足：对任意，存在，，使得在有.求证：存在，使得在上有.证明：，取题目所示的区间及，.由于.利用有限覆盖定理，存在，使得，取，则，，使得，.3.设是定义在上的连续函数，且收敛.若含参量反常积分在上一致收敛.求证：对任意的，.10证明：由题设条件，（1）收敛，，，使得时，有；（2）在上一致收敛，对于上述，存在，使得时，，取，有，，,于是从而对,而由的任意性，有，再由的连续性，及的任意性，即得，.4.设是定义在上的连续函数列，且，（1）；（2）对任意，在上一致收敛于零.10求证：对任意上的连续函数

4、，成立.证明：由题意，知（1）在上连续，从而有界，，使得，（2）由，知，使得当时，；（3）在处连续，而有，，使得时，有；（4）对于上述的，在上一致收敛于零，而有对上述，,使得当，时，，取，当时，10,从而，又，于是结论得证.5.设在上有连续的偏导数，且在上恒为零，求证.证明：10.10