freekaoyan华东师大2000年和2003年数分考研试题及解答

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1、华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题.一．（24分）计算题：（1）（2）（3）设是由方程,所确定的可微隐函数，试求Z.二．（14分）二、设，；，；证明：（1）是严格递增的;（2）是严格递减的;（3）用对数函数的严格递增性质证明：，对一切nÎN*成立.三．（12分）设在中任意两点之间都具有介值性，而且在内可导，（正常数）,证明在点a右连续（同理在点b左连续）.四．（14分）设证明:（1）,n=2,3…;（2）n=1,2,3….五（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线饶轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的

2、面积公式为（提示：据空间解几知道S的方程为）14六（24分）级数问题：（1）设,求。（2）设收敛，证明:。（3）设为上的连续函数序列，且证明：若在上无零点。则当充分大时在上也无零点，并有.华东师大2000年数分考研试题解答一．（1）解：；（2）解：14；（2）解：，，；二、证明（1）(应用比值法与贝努里不等式)由于,于是有,所以是严格递增的;(2)(应用比值法与贝努里不等式)由于,于是有,所以是严格递减的;14（3）因为，所以，于是，对一切nÎN*成立三．证明，取，当时，若，则在右连续；否则，使得.不妨设，满足：，，由题设条件，，使

3、得，于是对于一切，有，所以在右连续.同理可证在左连续.四、证明（1）因为，14所以有，；（2）由（1），，，（）。或者利用贝努利不等式,得.五、证明曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积。显然，曲面的方程为，由此得旋转曲面在正方向的方程为，由此得，，14，于是，面积，其中是旋转曲面在平面的投影区域，，于是。六解（1）由，得到，再由泰勒系数公式，得到，于是求得14；（2）设，，，由，都存在，因此，即；（3）因为为连续函数序列，在上一致收敛于，故在上连续，又因为，所以，，记，则有，对，，当时，对一切，都有，从而，，由此可见，当时，都无零点，又因

4、为，，故由14，，即得，，故在上一致收敛于。华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题一（30分）简答题（只需写出正确答案）。1.；2.，则3.4.，则5.，则6.方向为顺时针方向，则二.（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）1.若则.2.若在上可导，且导函数有界，则在上一致连续。3.若在上可积，在上可导，则144.若收敛，且则收敛。三.（17分）求极限,记此极限为，求函数的间断点，并判别间断点类型.四.（17分）设在上连续，且证明,其中。五.（17分）若函数在上对连续，且存在，对，.求证：在上连续.六.（17分）

5、求下列积分:其中.七（17分）设（1）求证：；（2）求证：。八（15分）求证：收敛。14华东师大2003年数学分析考研试题解答一．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.二．（1）错.例如，但.（2）正确.设，，对于任意，有14，由此可知，在上一致连续.（2）错.例如，显然在上可积，且，，，但.（3）正确.设，，则，，，，故有.三．解：，由于，不存在，，因此为的可去间断点，，为的第二间断点.四．证明：有题设条件，得14，，于是.三．证明：，有，，由条件，利用夹逼定理，即得，亦即在处连续，从而在上连续.四．证明：记，因为在上，

6、而在上，故有，又因为在平面上的投影区域为，又的方程为，，所以可求得14.三．证明（1）把欲证明的不等式经移项后写为：，只要把此式左边的分母乘至右边，经过整理后可得.主要过程如下：，于是成立，故成立；（2）记，由（1）中的等式，可得如下等式成立，，14，由，在上连续，故，，即，.八．由于时，；故时，.估计,，其中正常数或者是，或者，由此又得，，所以根据Cauchy收敛准则为收敛数列.14