浙大2005年数分考研试题及解答

《浙大2005年数分考研试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、浙江大学2005年数学分析考研试题及解答一、计算定积分。解，；由分部积分法，得，所以，故。二设在上Riemann可积，且，计算。解因为在上Riemann可积，所以在上有界，存在，使得，，，因为，存在，当时，有，于是，当充分大时，有9，，由题设条件，，由夹逼定理，可知故。或者利用。三设为实数，且，试确定的值，使得。解若，显然，这与矛盾，所以。计算，利用洛必达法则，得，9易知，若，则，这与为实数矛盾，所以，计算，故，，。四设在上连续，且对每一个，存在，使得，证明：存在，使得。证明方法一由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存

2、在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于;在利用在处连续及,即得,,结论得证.方法二由于在上连续,设,利用条件可知,对任意,存在,满足,从而由,;进而有,;存在,使得;结论得证.9五（1）设在上连续，且收敛，证明：存在数列满足条件，；（2）设在上连续，，且收敛，问是否必有，为什么。（1）证明因为收敛，所以有，由积分中值定理，存在，使得，显然有，；（2）不一定有，举一个例子：例1显然在上连续，，，但不存在。例2设，尽管收敛，但当时，不趋于0.此例还给我们提供了一个重要例子：在上递增有界，有有限的极限，在上连续可微且一致连续，但在上无界.六、设在上

3、具有二阶连续导数，9且已知和均为有限数，证明：（1），对任何，均成立；（2）也是有限数，并且满足不等式。证明考虑在处Taylor展开，，；于是，从而；（2）因为，对任何，均成立，取，（若，则，结论自然成立；假若，则，矛盾）所以，故也是有限数，并且满足不等式。七设在上有定义，在任何有限区间上Riemann可积，且收敛，证明：。证明对任意，存在，使得，；对上述，及固定的，由黎曼-勒贝格引理，成立，9从而存在，当时，有；，故有。八（1）将展开为幂级数，求收敛半径;(2)利用（1）证明：；（3）利用（2）中公式近似计算的值，需用多少项求和，误差不会超

4、过。（为自然数）解（1），，所以，显然收敛半径，收敛区间为；（2）在中，令，则有；（3）对于误差的计算，取决于余项，由于，不妨近似地用代替余项，，所以，，所以至少计算项，这里是取整函数。九、设是上径向函数，即存在一元函数，9使得，，若，求满足的方程及函数。解因为，，，，由，得，于是，从而，由此，，这里均为常数，故。十、设，是周期为的函数（），且，利用Fourier级数展开证明，等号成立当且仅当存在常数，使得或；（2），，所以，利用格林公式，得9，（3）将坐标看作是弧长的函数，因为有，所以，令，是周期为的函数，由格林公式和（2）的结果，可以得到

5、下面的结论，，其中常数，满足，，考虑由（1）的结论，，代入上式，则有，9即，于是，等号成立存在常数，使得，，且，，由此，可推知，，即得，，从而有，为圆周曲线，此时为一圆盘，结论得证。9