兰大09年数分考研试题及解答

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1、兰州大学2009年数学分析考研试题及解答一．计算题1.求.解原式注：，2.求.解原式.3.计算.解原式.1.求抛物线与它在处的法线所围成的有限区域的面积.解在处，，，法线的斜率为，设法线方程为，，法线与抛物线交于，，于是所求的面积.2.求幂级数的收敛域与和函数.解设，当时，由于,当时，原幂级数绝对收敛，当时，为条件收敛，当时，为条件收敛，当时，原幂级数发散，，..1.计算曲线积分，其中是从沿着曲线到点的一段.解记,,则，，于是，曲线，即，，，，，由Green公式原曲线积分.二．证明：不存在.证明由于区间，长度为，而存在整数；同

2、理存在，假若存在，则有，，由于，，从而，，这是矛盾的，所以不存在.三．设函数，满足，任意其中,为正常数.证明（1）当时，恒为常数；（2）当,,存在唯一的，使得.证明（1）当时，由，，知，，于是恒为常数；（2）显然连续，又，存在，使得，下证唯一性.设，也满足，则,由于，所以，，故存在唯一的，使得.四．设是区间上的有界函数，证明在区间上一致连续的充分必要条件是对任给的，总存在正数，使得当，，且时，就有.证明充分性用反证法.假若在区间上不一致连续，则存在，存在，使得，但，即有，由假设条件，对，只需要充分大，就有，矛盾所以在区间上一致

3、连续；必要性设在区间上一致连续，用反证法若结论不成立，则存在，对任意正整数，存在，使得，但.即有，，这与一致连续矛盾.注：对函数，或者，显然在上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的，不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.四．设是连续映射，若对中任何有界闭集，均是有界的，证明是闭集.证明设是的任意一个极限点，则存在，使得，而集合，作为中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一）其原像是有界的，现因，所以是有界的，由Weierstrass聚点定理，存在子列及，使得，由得连续性，，所以，故是闭集.四．证明二元函数

4、在点处连续，，存在但在点处不可微.证明（1）显然，所以在点处连续，由，，知，，，当时，不存在极限，所以在处不可微.五．设，证明（1）在上可导，且一致连续；（2）反常积分发散.证明（1）记，对任意，，所以在一致收敛，在上连续，对，，由此既得在一致连续；,,在上一致收敛，于是在连续可导，且.（2）由于，，，，所以发散，故发散.