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时间:2018-09-17
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1、兰州大学2009年数学分析考研试题及解答一.计算题1.求.解原式注:,2.求.解原式.3.计算.解原式.1.求抛物线与它在处的法线所围成的有限区域的面积.解在处,,,法线的斜率为,设法线方程为,,法线与抛物线交于,,于是所求的面积.2.求幂级数的收敛域与和函数.解设,当时,由于,当时,原幂级数绝对收敛,当时,为条件收敛,当时,为条件收敛,当时,原幂级数发散,,..1.计算曲线积分,其中是从沿着曲线到点的一段.解记,,则,,于是,曲线,即,,,,,由Green公式原曲线积分.二.证明:不存在.证明由于区间,长度为,而存在整数;同
2、理存在,假若存在,则有,,由于,,从而,,这是矛盾的,所以不存在.三.设函数,满足,任意其中,为正常数.证明(1)当时,恒为常数;(2)当,,存在唯一的,使得.证明(1)当时,由,,知,,于是恒为常数;(2)显然连续,又,存在,使得,下证唯一性.设,也满足,则,由于,所以,,故存在唯一的,使得.四.设是区间上的有界函数,证明在区间上一致连续的充分必要条件是对任给的,总存在正数,使得当,,且时,就有.证明充分性用反证法.假若在区间上不一致连续,则存在,存在,使得,但,即有,由假设条件,对,只需要充分大,就有,矛盾所以在区间上一致
3、连续;必要性设在区间上一致连续,用反证法若结论不成立,则存在,对任意正整数,存在,使得,但.即有,,这与一致连续矛盾.注:对函数,或者,显然在上一致连续,不成立必要性的结论,反证法中的,不存在,所以此题应只有充分性,应无必要性.四.设是连续映射,若对中任何有界闭集,均是有界的,证明是闭集.证明设是的任意一个极限点,则存在,使得,而集合,作为中的有界闭集(有界是因为极限存在,而闭性是由于极限唯一)其原像是有界的,现因,所以是有界的,由Weierstrass聚点定理,存在子列及,使得,由得连续性,,所以,故是闭集.四.证明二元函数
4、在点处连续,,存在但在点处不可微.证明(1)显然,所以在点处连续,由,,知,,,当时,不存在极限,所以在处不可微.五.设,证明(1)在上可导,且一致连续;(2)反常积分发散.证明(1)记,对任意,,所以在一致收敛,在上连续,对,,由此既得在一致连续;,,在上一致收敛,于是在连续可导,且.(2)由于,,,,所以发散,故发散.
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