北大2001年和2002年数分考研试题及解答

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1、北京大学2001年数学分析考研试题一．求极限.二．设在点可导，，求极限.三．证明函数在上一致连续.四．设为包含原点的平面凸区域，在上可微，且，证明在上恒为常数.五．计算第一型曲面积分,其中是锥面被柱面，割下的部分.六．求极限，其中在上连续，，.七．求常数，使得曲线积分，，对上半平面内的任何光滑的闭曲线成立.八．证明函数在上无穷次可微.九．求广义积分，.十．设是以为周期的周期函数，且，，求与的Fourier级数，它们的Fourier级数是否一致收敛？（给出证明）.12北京大学2001年数学分析考研试题解

2、答一、解当时，有，于是；当时，有，于是；当时，有，于是。二、解.三、证明，显然在上有界，于是在上一致连续。四、证明对任意上可微，设，则有，，故有在上恒为常数。五、解所截得的曲面为：，，；。12采极坐标变换计算此二重积分，，，，；。六、设函数在上连续可导,且.试求,其中积分区域解作球面坐标变换；于是12七、解设，，，由，得。八、证明令，显然，，，，都在上连续；对任何，当时，，，12，而收敛，所以，，，（）都在上一致收敛，故在内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。由于是任意的，所以在内是连续的，并在

3、这区间内有任意阶连续导函数。由于发散，显然在内非一致收敛，在内不一致连续。12假若在内一致连续，则有存在且有限，在中令，取极限，得，，矛盾。九、解解法1。解法2定理设.（1）如果在上连续，且存在，则有；（2）如果在上连续，且收敛，则有：；12（3）如果在上连续，存在，且收敛，则有.（这里的三个积分公式，都称为傅茹兰尼公式.）利用上述定理设，则有在上连续，且，，。十、书上有，简略。北京大学2002年数学分析考研试题一．求极限：.二．设，，，证明极限存在，并求极限值.三．设在上连续，证明存在，使得.四．设

4、，求.五．设有二阶连续偏导数，证明满足偏微分方程当且仅当：存在二阶连续可微函数，使得.六．计算三重积分，其中是曲面与围成的有界区域.12一．计算第二型曲面积分，其中是球面的外侧.二．判断级数的收敛性，并给出证明.三．证明：（1）函数项级数在区间上不一致收敛；（2）函数项级数在区间上可逐项求导.十．设连续，，求.北京大学2002年数学分析考研试题解答一、解因为，，所以。二、设，，，，求.解因为，，于是得是收敛的，设，显然；12在两边令取极限得到，从而，解得，因为，故.三、证明设，则有，，存在，使得，即.

5、四、解，。五、证明必要性特征方程为，，特征线为；作变换，，则，，，，于是，原方程化为，从而，，故，充分性若，直接验证，这种形式的函数满足方程。六、解两曲面的交线为；12，。七、解，利用高斯公式，得。八、解设，，而收敛，于是收敛，故的收敛。12九、证明（1）设，因为，所以在上收敛；或由，知在上收敛因为不趋向于零，上不一致收敛于0，所以在上不一致收敛；（2）对任何，存在，使得当时，，由此可见，，在上一致收敛，于是在上连续，12且有在上连续故在点处连续可微。由于是上的任意点，所以函数在上连续可微且。十、解，

6、所以.12