利用构造法解初中代数题的意义

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1、利用构造法解初中代数题的意义利用构造法解初中代数题的意义.L.初中代数是初中数学的重要组成部分，本文主要从解代数题这一角度出发，研究如何应用构造法解代数题，以及利用构造法解初中代数题的意义。　　一、初中代数的内容联系及地位作用　　初中代数是初中数学的重要组成部分。它包括数、式、方程和不等式、函数的初步知识及统计初步知识这五部分基本内容。笛卡尔模式告诉我们，一切问题可以转化为数学问题，一切数学问题可以转化为代数问题。这个模式虽不是万能的，但它在解决数学问题时确有重要作用。研究初中代数，是进一步学习其他数学知识的前提与基础。在初中代数中，方程

2、处于承前启后的地位，它前承数、式的学习，后启不等式、函数的学习，它们相辅相承、相互作用，构成了初中代数的理论基石。　　二、利用构造法解代数题的实质　　利用构造法解代数题，就是根据需要与可能构造出题设条件所没有给出的数（或式）、方程、不等式、函数、图形、命题等，以沟通题设条件与待求或待证结论的一种创造性的数学方法。　　三、利用构造法解代数题应注意的问题　　利用构造法解代数题，需要搞懂两个问题：（1）弄清为什么目的而构造，明确构造方向；（2）全面分析题设条件及结论特点，设计构造方案。这两个问题是用构造法解决代数题的关键。　　四、利用构造法解初

3、中代数题的几种常见情形　　1.构造辅助函数　　所谓构造辅助函数，就是依据给定问题的条件与结论，构造出一个函数解析式，利用函数的某些性质和图象来帮助解决问题。　　例：若x，y，z∈（0，1），则有x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。　　证明：构建一次函数f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）从而，于是对0＜x＜1，都有f（x）＜1，从而有（1-y-z）x+y（1-z）+z＜1即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。　　2.构造辅助数与式　　根据问题的特征，构造出一个联系条件和结论的

4、数或式子，架起一座解题的桥梁。　　例：试证在0与1之间有无穷个有理数。分析：此题从正面思考较困难，可使用反证法并通过构造新数导出矛盾。　　证明：假设在0与1之间仅有n个有理数a1，a2，an，由于任两个有理数之积仍是有理数，于是构造一个与a1，a2，an都不相同的有理数p=a1•a2an。∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，，0＜an＜1，∴0＜p＜1则说明在0与1之间至少有n+1个有理数，这与假设矛盾，故在0与1之间有无穷个有理数。　　3.构造辅助方程（或方程组）　　有些数学计算或证明问题，与方程的求解密切相关，我们可

5、通过分析构造出相应的方程（或方程组），然后由方程的求解或解的性质使问题得到解决。　　例：已知方程组3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的值。　　分析：两个方程含三个未知数，不易解出各未知数，但观察待求结论与已知方程组的特征，可将x+y+z看成一个未知数，将原方程组变形为含两个未知数的二元一次方程组，问题便迎刃而解。　　解：原方程组可化为（x+y+z）x+2（x+3y）=3，（1）（x+y+z）x+3（x+3y）=4，（2）　（1）3－（2）2得=1。　　4.构造辅助不等式（或不等式组）　　有些数学问题，蕴涵着量与量之间的不

6、等关系，可通过建立不等式（或不等式组），使问题得到解决。　　例：某厂生产一种机器零件，固定成本为20000元，每个零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额的10%，若要.L.使利润超过固定成本，则该零件至少要生产销售多少个？　　解：设零件至少销售x个，总售价为5x元，成本为3x元，纳税5x10%，则可构建不等式5x-（3x+5x10%）＞20000。　　解得x＞13333。又因x为整数，所以该零件至少要生产销售13334个。　　5.构造辅助图形　　当代著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合，相得益彰。根据代数

7、题目特点，构造所涉及元素的图形，则可化抽象为形象，借助直观启发思维，从而快速找到解题思路，收到事半功倍的效果。下面分两方面来阐述。　　（1）图示法：借助图表来说明问题的方法叫做图示法。　　用韦恩图表示集合之间的关系。由于初中数学中已渗透了集合思想，所以可借助韦恩图直观地显示出各集合之间的关系。一般用圆面来表示集合，两个圆面相交，则表示两个集合含有公共元素，两个圆面相离，则表示两个集合不含公共元素。　　例：某学校共有三个科技兴趣小组：天文、环保和计算机。已知参加三个兴趣小组的学生分别是24、25、30人；同时参加天文、环保兴趣小组的有5人，

8、同时参加天文、计算机兴趣小组的有2人，同时参加环保、计算机兴趣小组的有4人，有1人同时参加这三个兴趣小组，问共有多少个学生参加了科技兴趣小组？　　解：根据题意构造图（见下图），可知参加科技兴趣