微专题:构造函数法解选填压轴题

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1、专业资料整理分享微专题:构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分,关键在于选准选好的解题方法,才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中,许多方面尤其涉及函数题目,采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式,设计并构造一个与有待解答问题相关函数,并对其进行观察分析,借助函数本身性质如单调性或利用运算结果,解决原问题方法,简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来一起探讨一下这方面问题。几种导数的常见构造:1.对于,构造若遇到,则可构2.对于,构造3.对于,构造4.对于[或],构造5.对于,构造6.

2、对于,构造一、构造函数法比较大小例1.已知函数的图象关于y轴对称,且当成立,,,,则的大小关系是()【解析】因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,,函数单调递减,当时,函数单调递减.因为,,,所以,所以,选D.变式:已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,则下列关于的大小关系正确的是(D)例2.已知为上的可导函数,且,均有,则有WORD文档下载可编辑专业资料整理分享A.,B.,C.,D.,【解析】构造函数则,因为均有并且,所以,故函数在R上单调递减,所以,即也就是,故选D.变式:已知函数为定义在上的可导函数,且对于任意恒成立,为自然对

3、数的底数,则(C)例3.在数列中,.则数列中的最大项为().A.   B.C. D.不存在【解析】由已知,,,易得.猜想当时,是递减数列又由知,令,则当时,,则,即在内为单调递减函数,时,是递减数列,即是递减数列又,数列中的最大项为故选B.WORD文档下载可编辑专业资料整理分享练习1.已知函数对任意的满足,则()A.B.C.D.提示:构造函数,选D.二、构造函数法解恒成立问题例1.若函数y=在R上可导且满足不等式恒成立,对任意正数、,若,则必有()A.   B.C. D.【解析】由已知∴构造函数,则,从而在R上为增函数。∴即,故选C。例2.已知是定义在(

4、0,+∞)上的非负可导函数,且满足≤0,对任意正数、,若,则必有()A.   B.C. D.【解析】,,故在(0,+∞)上是减函数,由,有,即。故选A。变式1.设是上的可导函数,分别为的导函数,且满足,则当时,有(C)变式2.设函数时,有(C)A.B.C.D.例3.设函数在R上的导函数为,且,下面不等式恒成立的是()A.   B.C. D.WORD文档下载可编辑专业资料整理分享【解析】由已知,首先令得,排除B,D.令,则,① 当时,有,所以函数单调递增,所以当时,,从而.② 当时,有,所以函数单调递减,所以当时,,从而.综上.故选A.例4.如果,那么下面

5、的不等式恒成立的是()A.   B.C. D.【解析】构造函数,易证在R上是奇函数且单调递增+==lg1=0即:又是增函数即。故选B.练习1.已知,则实数的关系是(D)A.B.C.D.【解析】构造函数,是增函数,又,,故选D.练习2.已知函数是R上的可导函数,当时,有,则函数的零点个数是(B)A.0B.1C.2D.3【解析】由,得,构造函数,则,∵当时,有,∴当时,即当时,,此时函数单调递增,此时,当时,,此时函数单调递减,此时WORD文档下载可编辑专业资料整理分享,作出函数和函数的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数的零点个数为1个.故

6、选B.三、构造函数法解不等式例1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,,则f(x)>2x+4的解集为(  )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)【解析】构造函数G(x)=f(x)-2x-4,所以,由于对任意x∈R,,所以>0恒成立,所以G(x)=f(x)-2x-4是R上的增函数,又由于G(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以G(x)=f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞),故选B.变式1.已知函数满足,且,则的解集为()A.B.C.D.【解析】构造新函数,则,,对

7、任意,有,即函数在R上单调递减,所以的解集为,即的解集为,选D.变式2.定义在上的函数,其导函数满足,且,则关于的不等式的解集为变式3.已知函数为定义在上的可导函数,且对于任意恒成立,且,则的解集为变式4.函数的定义域是,,对任意,,则不等式的解集为(A)A.B.C.D.例2设是定义在R上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集是解:因为当x>0时,有恒成立,即[]′<0恒成立,所以在内单调递减.WORD文档下载可编辑专业资料整理分享因为,所以在(0,2)内恒有;在内恒有.又因为是定义在R上的奇函数,所以在内恒有;在内恒有.又不等式的解集,即不等式的

8、解集.所以答案为∪(0,2).变式1.已知定义在上的可导函数,其导函数为,且有,

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