用放缩法证明不等式.doc

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1、用放缩法证明不等式一．常用公式1．2．3．4．()5．6．二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2），，，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（8）或（9）三．常见题型（一）．先求和再放缩:1．设，求证：2．设（），数列的前项和为，求证：（二）．先放缩再求和:3．证明不等式：4．设（1）求证：当时，；（2）试探究：当时，是否有？说明理由.5．设，求证：（1）（2）6．设，求证:（1）（2）7．设，，求证:8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一

2、个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数.（1）试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；（2）证明：.9．（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和．10．（010深圳）在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，．2．证：.3．证明

3、：＜＜24．解：（1）∵当时，∴＝又∵∴∴当时，.（2）∵∴＝当时,要只需即需，显然这在时成立而,当时显然即当时也成立综上所述：当时，有.5．证法一：∵∴∴∴.………………10分证法二：，下同证法一.…………10分证法三：（利用对偶式）设，，则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即………………10分证法四：（数学归纳法）①当时,,命题成立;②假设时,命题成立,即,则当时,即即故当时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.………………10分②由于，所以，从而.也即………………14分6．证明：（法一）………………12分（法二）（1）当，显然成立…………

4、5分（2）假设时，………………7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。…………12分6．证明：（法一）………………12分（法二）（1）当，显然成立…………5分（2）假设时，………………7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。…………12分7．证明:当时，．当时.．故综上，原不等式成立．8．解：⑴由于因此，当时，有所以.又，所以.（注：直接给出结果也给分）⑵当时，.所以.9．（1）证明：当时，，解得．当时，．即．∵为常数，且，∴．∴数列是首项为1，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，，．∵，∴，即．∴是首项为，公差为1的等差数列．∴，

5、即（N）．（3）证明：由（2）知，则．…所以，当时，，所以．10．解：（1）由已知，得，，，　.（2）（证法1），，，……；，，，…….∴猜想,，，以下用数学归纳法证明之．①当时，，，猜想成立；②假设时，猜想成立，即,，那么,.∴时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，．即数列的通项公式为．（注：通项公式也可以写成）（证法2）令，，则．∴，．从而（常数），，又，故是首项为，公差为的等差数列，∴，解之，得，即，．∴，从而．（余同法1）（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得

6、．显然，；当为偶数时，；当为奇数（）时，.综上所述，，．（解法2）由（2），得．以下用数学归纳法证明，．①当时，；当时，．∴时，不等式成立．……②假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；当为偶数时，．∴时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立．……14例1已知数列{a}满足：a=1且.（1）求数列{a}的通项公式；（2）设mN，mn2，证明（a+）（m-n+1）分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有a=,学生对形如,A，B是常数）形式的

7、一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设即与比较系数得c=1.即又,故{}是首项为公比为的等比数列，故(2)这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。设下面先研究其单调性。当>n时，即数列{}是递减数列.因为n2，故只须证即证。事实上，故上不等式成立。综上，原不等式成立。无独有偶，在不到1个月的06年全国一卷高考题22中恰出现了本例中构造数列求通项公式的模型。有兴趣的同学可找做一做

8、。例2设数