不等式证明放缩法.doc

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1、不等式的证明（放缩法）1．设，，则的大小关系是（）A.B.C.D.2．已知三角形的三边长分别为，设，则与的大小关系是（）A.B.C.D.3．设不等的两个正数满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.4．设，则与1的大小关系是.5．设，则的整数部分为.6．已知均为正数，且，求证：.7．设，求证：.8．设，求证：.9．设，求证：.10．设，求证：不等式对所有的正整数都成立.简答：1．B提示：2．D提示：由，得，3．B提示：由条件得，所以，故.又，可得，从而，所以，故.4．A<15．18提示：因为时，，所以，即故所以所求

2、整数部分为18.6．解：由已知可知，，所以，所以原不等式得证.7．提示：由，累加即得.8．提示：.9．提示：，累加即得.10．提示：不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、放缩法：例一、若a,b,c,dÎR+，求证：证：记m=∵a,b,c,dÎR+∴∴12时，求证：证：∵n>2∴∴∴n>2时,例三、求证：证：∴一、反证法：例四、设0

3、-b)c,(1-c)a,不可能同时大于证：设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘：ab<(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a<①又∵00，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理

4、可证：b>0,c>0二、作业：证明下列不等式：1．设x>0,y>0,,，求证：ab>c,则5．左边6．7．已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：an+bn0,∴∴8．设00，且x+y>2，则和中至少有一个小于2反设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传

5、递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋

6、ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2.已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，故.综合得。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用

7、数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求。证明：因为，则，证毕。例5.已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。例7.已知，求证：当时。证明：证毕。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知，求证。证明：因为，所以可设，，所以则，即。例9.已知a，b，c

8、为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，，则当时，，，所以。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，所以，即。证毕。放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是