浅谈用放缩法证明不等式

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1、浅谈用放缩法证明不等式山东省许晔不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，

2、故命题得证。利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。一、运用基本不等式来证明①求证：lg8·lg12＜1 证明：∵lg8＞0，lg12＞0，而lg96＜lg100=2∴lg8·lg12＜1.说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。解：∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时

3、，等号成立）b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的证明：说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。证明： 本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求证：证明：本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须

4、根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。④求证：证明：本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。⑤若a、b、c为不全相等的非实数求证：证明：∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号，相加得说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。⑥求证：证明：当a＋b=0时，不等式显然成立。当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左边≤右边.说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用证明：当n=k+1时，则得本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题

5、方法。证明：由递推公式有：∴x100＞45.本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。以上例题足以说明，如果掌握了不等式证明的基本方法，并能巧用放缩法，很多难下手的题型，就能找到解题途径，使不等式证明简化。诚然，要掌握放缩法必须掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。