用放缩法证明不等式

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1、利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和，。设，，证明：。证明：易得，=点评：此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列和满足，，数列的前和为，；（I）求证：；（II）求证：当时，。证明：（I）∴．（II）由（I）可知递增，从而，又，即当时，。点评

2、：此题（II）充分利用（I）的结论，递增，将裂成的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列的首项为点在直线上。若证明对任意的，不等式恒成立．证明：，所以即。点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列满足，，证

3、明：。证明：当时，，结论成立。当时，易知点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且．（I）数列和的通项公式；（II）求证：．略解：（I），，。证明：（II）．∴．反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口。5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两

4、种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。例6已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出通项；（Ⅱ）如果时，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有．略解：（），则．，当时，，则．，则．因此，．反思：为什么会想到将放缩成？联想到，因为要证明，而是一个数列前项的和，最后通过放缩很可能变成的形式，而应是由放缩后裂项而成，，，此时刚好得到，接下来就要处理，想到用二项式定理。（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列的前项和为，且对任意的，都有.(I)求的值；（II）求数列的通项公式；（II

5、I）证明：。略解：（I）（II），；证明（III），令，则有，从而，即。点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。例8在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（I）分别计算，和，的值；（II）求数列的通项公式（将用表示）；（III）设数列的前项和为，证明：，．略解：（I）（II）得，，，．证明：（III）由（II），得．显然，；当为偶数时，；当为奇数（）时，.综上所述，，即，．

6、点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。例9设函数，其中．证明对任意的正整数，不等式都成立．分析：欲证上述结论，直接作差比较，无从下手；接着想到令，判断函数的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能计算，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令，判断函数的单调性，如果在单调，则函数也单调。解：令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向

7、：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：；（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如；（3）应用基本不等式放缩：；（4）二项式定理放缩：如；（5）舍掉（或加进）一些项，如：。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特

8、点，只有这样，才能使问题迎刃而解。再看