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1、2010高考数学考点预测：有限与无限的思想一、考点介绍1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.
2、取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、高考真题1.(2008安徽卷，理，14)在数列在中，，，,其中为常数，则的值是.【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即)来解决新的极限问题.【答案】由知，是公差为4的等差数列，故，解得，，从而.2.(2005年福建卷，理，22)已知数列满足,我们知道当
3、a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.（Ⅰ）求当为何值时；（Ⅱ）设数列满足,，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（Ⅲ）若，求的取值范围.【解析】这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题.对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列{an}的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个都成立的结果，通过有限次分
4、析获得解决.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ)解法一：,,当时,,当时,,,当时,,.一般地,当时,可得一个含有项的有穷数列.下面用数学归纳法证明.(1)当时,,显然,可得一个含有2项的有穷数列(2)假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中,则时,,,由假设可知,得到一个含有项的有穷数列,其中.所以,当时,可以得到一个含有项的有穷数列,,其中由(1),(2)知,对一切,命题都成立.解法二：故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.（Ⅲ）即,所以要使,当且仅当它的前一项满足.由于,所以只须当时,都有由,得,解得.3.（2008辽宁卷21）在
5、数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项），可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得，由此可得．猜测．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，,所以当n=
6、k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．故.综上，原不等式成立．三、名校试题1.（福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测，数学，22）数列中，，(为常数，)，且（1）求的值；（2）①证明：；②猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（3）比较与的大小，并加以证明.【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项后可得的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得.然
7、后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，由，得，解得，或（舍去）.（Ⅱ）①证明：因为，当且仅当时，.因为，所以，即().②数列有极限,且.（Ⅲ）由，可得，从而.因为，所以所以因为，由（Ⅱ）①得().（*）下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立.当时，由，显然结论成立.假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增，所以.即当时，结论也成立.于是，当时，有成立.（**）根据（*）及（**）得.由及，经计算可得所以，当时，；当时，；当时，由，得所以.2．（安徽省皖南八校2008届高三第三次联考
8、，数学，18）数列的首项=1，前项和为满足（常数，）．（1）求证：数列是等比数列.（2）设数列的公比为，作数列，使，（2，3，4，…）求数列的通项公式；（3）设，若存在，且；使（…），试求的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两
