有限与无限的问题

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1、第二章若干数学问题中的数学文化第三节有限与无限的问题1高等数学与初等数学的区别？2学生的回答：关于“高等数学与初等数学的区别？”更加全面；更加深刻；更加细微；更加本质；更加理论化；更加系统化；…………3高等数学与初等数学的区别？从研究“常量”发展到研究“变量”从研究“有限”发展到研究“无限”4一、什么是悖论悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。5例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。6再如：“万物皆数”学说认为

2、“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。7二、芝诺悖论芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。81.四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。92.症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：1）

3、促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？10芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。11三、“有无限个房间”的旅馆1.“客满”后又来1位客人（“客满”）1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2345

4、┅k+1┅空出了1号房间122.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2468┅2k┅空下了奇数号房间133.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅10001200023000340004┅10001×k┅给出了一万个、又一万个的空房间14全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。152.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2468┅2k┅空下了奇数号房间163.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1234┅

5、k┅↓↓↓↓┅↓┅10001200023000340004┅10001×k┅给出了一万个、又一万个的空房间17是否有人想提什么问题？184.[思]该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？19四、无限与有限的区别和联系1.区别1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。20当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1234567891011…n…↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕149162536496481100121…n2…[该两集合：

6、有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]21伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。22[思]：构造一个“部分到整体的一一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。232.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立（1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c24在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如25有限半群若满足消去律则一

7、定是群。√无限半群若满足消去律则一定是群。×26（2）有限级数一定有“和”。√是个确定的数无穷级数一定有“和”。×则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。272.联系在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限通过有限的方法，描写无限的过程。如：；自然数N，都，使时，。283）无穷级数通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式,a1=*5）因子链条件（抽象代数中的术语）293.数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块

8、砖都是直的（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）303）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积→不规则图形的面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面