在错误中反思，在研究中学习.doc

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1、在错误中反思，在研究中学习----从一道错题谈起学习了两角和与差的三角比后，一次数学课后布置的作业中有这样一道题目：已知，，，求的值．这是一道常规的角的组合问题，只需注意到，分别求出和，又，再求出即可（为什么不利用呢？）．从而有如下解法：解：因为，，所以因为，，所以===又，则．绝大多数同学都是这样做的，轻松地就解决了问题，稀松平常，看似风平浪静．然而有同学提出了疑问：接近于1，那么应该接近，怎么可能有呢？言之有理！问题出在哪里呢？反复检查上述解法，没有发现错误．那么，只能怀疑题目本身了．于是，我们

2、进行了一番研究．研究一：本题的已知条件可能的错误在哪儿？为什么？利用计算器近似计算角的大小，先获得直观认识．，知；，知，由，得，这与矛盾！但的确有．由此可以判定已知条件自相矛盾，本题无解．修改方案：可以将问题改为探索性问题．例如：是否存在满足条件，，的角？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．研究二：如何修改已知条件中的数据，使得问题有解？方案一：只修改已知条件中的角和的取值范围，使矛盾消除．如：（1）；（2），等．但此时或的值不唯一，从而的值不唯一．方案二：只修改已知条件中的三角比的值，角的范

3、围不变．考虑到目前学生还没有学习反三角函数，所以要求使得的值是特殊角．第一类：只修改中的．设，则，得由已知条件，则，得此时，故，其中的特殊角只有，设，由，得，解得于是，问题可以修改为：已知，，，求的值．（答案：）第二类：只修改中的．设，则，得由已知条件，则，得此时，故，其中的特殊角有和，设，由，得（1），解得（2），解得于是，问题可以修改为：（1）已知，，，求的值．（答案：）（2）已知，，，求的值．（答案：）至此，问题得到了圆满解决．但也引起笔者的反思．本题是教辅书中常见的一道题目，在定势思维的限制

4、下，也获得了“正确”答案，并以讹传讹．不知前几届的学生是否做过，不知有多少学生今天还在继续做？今天我们知道了，当然那只是在形式地在解题，利用正确的方法解决了一个错误的题目．对本题的质疑首先源自学生．面对学生的质疑，教师首先要赞赏学生的数感、对问题的直觉思维和勇于质疑的精神，缺乏这些就失去了一次极好的改正错误、反思研究的机会．回顾以上探索路程，我们使用计算器进行近似估计，为研究指明了方向，可以修改角的范围，也可以修改三角比的值；在修改数据时采用逆向思维，首先对角范围限制，进而获得的范围，在此范围内确定

5、特殊角；通过解方程得到的值，也即获得了需要修改的数据．不等式和方程自然而然的融入其中，增加了研究的分量．经历修改问题，展现给学生命题形成的过程，学生体验研究．学习数学离不开解题，问题可以是他人提供现成的，也可以是在解题的过程中自主研究的，从错题中研究是研究性学习的一条途径．