椭圆的简单几何性质练习题

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1、课时作业(八)一、选择题1．(2015·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】　本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.【答案】　C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.【解析】　由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.【答案】　A3曲线＋＝1与＋＝1(0

2、距，不同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点D．以上都不对【解析】　曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】　B4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为(　　)A.B．－C.D．－【解析】　由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝＝＝1.不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，解得y0＝±，所以

3、MN

4、＝3，

5、OM

6、＝

7、ON

8、＝＝.由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.【答案】　B二、填空题5．已知长方形

9、ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．【解析】　如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.【答案】　6．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________.【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M，得kAB＝，kOM＝，kAB·kOM＝，b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.【答案】　－7．(2014·天津高二检测)已知P(m，n)是椭圆x

10、2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．【解析】　因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.【答案】　[1,2]三、解答题8．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】　　(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵e＝

11、＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求椭圆的方程为＋＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的方程为＋＝1.9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．【解】　　不妨设A(a,0)，点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a

12、＝3b，所以e＝＝＝＝.1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)A.B.－1C．2－D.【解析】　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题得

13、PF2

14、＝＝2c，即＝2c，得离心率e＝－1，故选B.【答案】　B2．(2014·清远高二期末)“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　椭圆＋＝1离心率为，当04时，＝，得m＝，即“m＝3”

15、是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．【答案】　A3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．【解析】　由＝2，得

16、AO

17、＝2

18、FO

19、(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.【答案】　4．(2014·青海省西宁)已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于

20、MB

21、，求椭圆上的点到点

22、M的距离d的最小值．【解】　　(1)由