角平分线性质及判定

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1、第02讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.2.角平分线的判定定理:角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例1】如图,已知OD平分∠AOB,在OA、OB边上截取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求证:PM=PN【变式题组】01.如图,CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证:点P在∠BAC的平分线上.02.如图,BD平分∠ABC,AB=BC,点P是BD延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD.求证:PM=PN【例2】如图,已知四边形A

2、BCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE=(AB+AD),如果∠D=120°,求∠B的度数【变式题组】01.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC=5,BC=3.求02.在四边形ABCD中,已知AB=a,AD=b.且BC=DC,对角线AC平分∠BAD,问a与b的大小符合什么条件时,有∠B+∠D=180°,请画图并证明你的结论.【例3】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求证:CE=BD【变式题组】01.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.02.如图,在△ABC中,∠B

3、=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系,并说明理由;⑵求证:AE+CD=AC.演练巩固·反馈提高01.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是()A.mnB.mnC.mnD.2mn02.如图,已知AB=AC,BE=CE,下面四个结论:①BP=CP;②AD⊥BC;③AE平分∠BAC;④∠PBC=∠PCB.其中正确的结论个数有()个A.1B.2C.3D.403.如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S.

4、若AQ=PQ,PR=PS,下列结论:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()A.①③B.②③C.①②D.①②③04.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结论中:①AD上任意一点到B、C的距离相等;②AD上任意一点到AB、AC的距离相等;③AD⊥BC且BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正确的是()A.②③B.②④C.②③④D.①②③④05.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,则∠AEB的度数为()A.50°B.45°C.40

5、°D.35°06.如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,给出下列结论:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是()A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④07.如图,点P是△ABC两个外角平分线的交点,则下列说法中不正确的是()A.点P到△ABC三边的距离相等B.点P在∠ABC的平分线上C.∠P与∠B的关系是:∠P+∠B=90°D.∠P与∠B的关系是:∠B=∠P08.如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,BD与CD相交于D.给出下列结论:①点D到A

6、B、AC的距离相等;②∠BAC=2∠BDC;③DA=DC;④DB平分∠ADC.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个09.如图,△ABC中,∠C=90°AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,下列结论中:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④AB=AC+BE.其中正确的个数有()A.3个B.2个C.1个D.4个10.如图,已知BQ是∠ABC的内角平分线,CQ是∠ACB的外角平分线,由Q出发,作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则QM、QN、QK的关系是_________11.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥

7、AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC.求证:BE=CF12.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD⊥EF.培优升级·奥赛检测01.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处02.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,则D到A

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