chapter 7 常微分方程

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1、Chapter7常微分方程OrdinaryDifferentialEquation函数本身未知，一些变数对另一些变数的依存规律也是未知的。不同于微分学中的问题：微分方程(DifferentialEquation)理论发展于17世纪，对于数学，特别是数学的应用，它所具有的重要意义：很多物理问题与技术问题的研究可以化为微分方程的求解问题。问题产生的背景：18世纪物理问题，包括弹性理论，弹簧，摆，引力，月球的运动理论等等。微分方程理论在力学、物理学、天文学等自然科学与技术科学的各领域，甚至生物学、医学、经济学等社会科学领域中有

2、广泛应用，成为解决工程实际问题的强有力的工具。例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口控制等问题。基本概念；可分离变量的方程；一阶线性方程；可解出导数的一阶隐式方程；可降阶的二阶微分方程；常系数二阶线性齐次微分方程的解法；常系数二阶线性非齐次微分方程的解法；用常数变易法求解二阶线性非齐次方程；常系数线性微分方程组。§1基本概念问题的提出；微分方程的定义。一.问题的提出解：例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知

3、由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).微分方程问题主要来源于几何学，力学和物理学，但现在应用于自然科学和工程技术的各个领域，包括生物，医学，经济学等。常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.(本章内容)分类二.微分方程的定义常微分方程(OrdinaryDifferentialEquation)定义1偏微分方程(PartialDiffere

4、ntialEquation)(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是或当未知函数是多元函数时，微分方程称为偏微分方程(PartialDifferentialEquation)PDE一阶常微方程二阶常微方程一阶偏微方程二阶偏微方程一阶微分方程高阶(n)微分方程实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.线性与非线性微分方程.定义2定义3微分方程的解的分类：(1)通解(generalsolution):微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.通解有时也写成隐函数

5、的形式称为通积分(generalintegral)(2)特解(specialsolution):确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.通解:特解:例3.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件定义4微分方程不恒等于零的解称为方程的非零解，或非平凡解。微分方程的初等解法:初

6、等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)hw：p3542(3,5),3(2,4,5).