常微分方程习题(7)

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1、常微分方程期中测试试卷(11)班级__________姓名__________学号________得分__________1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3_________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中___________

2、____________.5对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使______________________,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9若为毕卡逼近序列的极限，则有　_______________

3、___10_________________________________________　称为黎卡提方程，若它有一个特解　，则经过变换　___________________　，可化为伯努利方程．二　求下列方程的解１　２　　求方程经过的第三次近似解３　　讨论方程　，的解的存在区间　4求方程的奇解567三证明题1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一参考答案一填空题1123形如的方程4在上连续且关于满足利普希兹条件5678910形如的方程二求下列方程的解1解：　

4、，则　　所以　另外　　也是方程的解　2解：3解：两边积分　　所以　方程的通解为　故　过的解为　通过点　的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到　２，所以解的存在区间为　4解:利用判别曲线得消去得即所以方程的通解为,所以是方程的奇解5解:=,=,=,所以方程是恰当方程.得所以故原方程的解为6解:故方程为黎卡提方程.它的一个特解为,令,则方程可化为,即,故7解:两边同除以得所以,另外也是方程的解三证明题1证明:设黎卡提方程的一个特解为令,又由假设得此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明:令:,,在上连续,则显然在上连续,因为为上的连续函数,故在上也连续且存在最大植

5、,记为即,,=因此一阶线性方程当,在上连续时,其解存在唯一