ch7-求解常微分方程

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1、225-232第七章求解偏微分方程常微分方程的求解是在高等数学里面讲过的，所以大家比较熟悉，对于偏微分方程的求解可能就有点陌生了。事实上偏微分方程在工程上有着更广泛地应用，例如描述液体在多孔介质中的扩散，声学和电磁学中谐波的传播，热在固体中的传导等过程的微分方程都是偏微分方程。所以求解偏微分方程在工程实际上有着非常重要的价值。手工求解常微分方程就已经非常麻烦和复杂了，那么求解偏微分方程就更加的复杂和繁冗了。所幸的是有MATLAB这个计算工具来帮我们解决这一麻烦问题，MATLAB中有一个专门用来求解片微分方程的工具箱PDE工具箱

2、。这个工具箱不但提供有丰富的命令函数，使求解偏微分方程便的简单灵活，而且该提供了一个求解偏微分方程的图形用户界面系统（GUI），使得整个求解过程更加的人性化。特别是对于初学者来说GUIjiang更容易被接受，操作也更方便，所以偏微分方程的求解这一部分我们将主要介绍PDE工具箱的GUI系统。7-1偏微分方程的特点对于n阶常微分方程我们知道它的解取决于n个任意常数，例如一阶常微分方程的解可以表示为：,c为任意常数。但是对于偏微分方程来说就不是由多少个常数来确定的了，例如偏微分方程的解可表示为：其中w(x)和v(y)为两个连续的任意

3、可微函数。我们看到偏微分方程的解可能是非常多的，与常微分方程的解依赖于若干任意常数相比，它的自由度要大的多，对于多维偏微分方程的解更是这样。正是由于这个原因，一般来说偏微分方程的解很难用通式表达出来。事实上我们常用到的是偏微分方程在某种特定条件下的解，这样靠着这些特定条件的约束我们就可以把偏微分方程的解表示出来了。我们把这些帮助确定偏微分方程特解的条件叫做定解条件，由于自变量在多维空间中的变化，其变化的区域非常复杂，所以在区域边界上给出的定解条件也更加形式多样，我们一般称给定在区域边界上的定解条件为边界条件。我们看到边界条件岁

4、于求解偏微分方程非常有用。由于偏微分方程的求解一般来说太过复杂，所以现在没有一个对所有的偏微分进行求解的理论，所谓的求解偏微分方程也只是对于某些人们比较熟悉的类型的偏微分方程进行求解。不同类型的偏微分方程代表不同的物理现象，例如方程表示内部没有热源的情况下物体的温度分布应满足的条件，t表示时间变量，x、y、z分别表示物体的三维空间坐标，这里，K为物体的热传导系数，Q为该物体的热的容量。再比如方程表示声波或者振动在介质中的传播，同样t表示振动传播的时间变量，x、y、z表示介质的三维空间坐标，而a则表示振动在该介质中传播的速度。人

5、们通过对偏微分方程的研究，把常见的偏微分方程归结为四种类型，即：椭圆型方程、抛物型方程和混合型方程。前面讲过的热传导方程是一个抛物型方程，波动方程则是一个双曲型方程。如果热传导方程不考虑时间因素，则方程变为，这个方程就是一个椭圆方程了，混合型方程顾名思义就是一个方程具有上面三种类型方程中至少两种的特点的方程了。上面说过，边界条件对于求解偏微分方程很关键，在求解过程中最常用的地定解条件有两种，即：狄利克雷条件（又叫第一类边界条件）、诺曼条件（又叫第二类边界条件）。狄利克雷条件常写为，即满足给定区域边界Ω的待求函数u为已知函数g；

6、对于热传导方程狄利克雷条件的具体意义就是，已知物体的表面温度分布函数为g;对于波动方程则狄利克雷条件的具体意义就是，波在介质的表面（或介质的给定区域的表面）的振动函数u为已知函数g。诺曼条件常写为，为已知函数，是关于的外法线导数。对于热传导方程诺曼条件的具体意义为，沿给定区域Ω边界的外法向的温度变化率为已知函数φ；对于波动方程则诺曼条件的具体意义为，沿给定区域Ω边界的外法向的振动速率为已知函数φ。7-2PDEtoolbox求解问题的背景知识1．求解方程的类型使用PDE工具箱求解偏微分方程的基本类型有椭圆型方程、双曲型方程、抛物

7、型方程、特征值方程、椭圆型方程组和非线形椭圆型方程组。PDE工具箱对这些方程的公式表述为：椭圆型方程：双曲型方程：抛物型方程：特征值方程：这里是微分算子，表示对多元函数求全微分运算。Ω是给定的平面有界区域，参数c、a、f和待求未知数u都是定义在Ω上的函数。参数d是定义在Ω上的复函数，是待求的特征值。在抛物型方程和双曲型方程中，参数函数c、a、f、d可以是时间t的函数。可以使用非线形解题器求解非线形椭圆型方程：这里c、a和f都是未知的待求函数u的函数。另外，PDE工具箱提供的解题器都可以处理下面的方程组：利用命令还可以求解高阶方

8、程组。2．边界条件我们知道常用的两个边界条件狄利克雷条件和诺曼条件，PDE工具箱对它们的公式表示为：Dirichlet条件：Neumann条件为：这里是上的单位外法向矢量，h、r、q和g定义在上的复值函数（对于特征值问题g=0,r=0）。对于非线性问题，系数g、q、h和r可以