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时间：2018-11-20
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1、第七节一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,
2、1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向
3、.3.梯度的基本运算公式例4.证:试证处矢径r的模,练习题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)
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