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《6.8.4 方向导数与梯度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6.8.4方向导数与梯度DirectionalDerivativesandGradientVectors方向导数Directionalderivatives讨论函数沿某个方向的变化率：沿方向的平均变化率沿方向的增量函数在点沿方向的方向导数directionalderivative是函数在点沿方向对的变化率是曲面在点沿方向的倾斜程度（坡度）方向导数与偏导数若偏导数存在则其中则其中因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。方向导数是单向导数（因为）而偏导数是双向导数（因为可正负）类似于一元函数的单侧导数Example求函数在原点沿任何方向的方向导数解设
2、方向向量为即函数(圆锥面)在原点沿任何方向的方向导数均为1但是在原点的偏导数不存在上半圆锥面无偏导数无导数圆锥面在顶点无切平面定理读书利用偏导数计算方向导数的公式证明由可微性若不是单位矢量，则方向导数是梯度在方向上的投影三元函数在点沿方向的方向导数：ExampleSolution例解梯度Gradientvectors当即，与矢量方向相同时，方向导数取到最大值：因此矢量是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向矢量是使函数在一点增加得最快的方向称矢量为函数在点处的梯度矢量，简称梯度(gradient)记作梯度是一个矢量它是函数在点处取得最大方向导数的方向最大方向导数为：梯度的几何解释
3、函数的等值线：由隐函数的讨论，知梯度是等值线在点处的法矢。故，梯度矢量在任何点都垂直于函数的等值线并且从函数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等值线梯度为等值线上的法向量contourplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..4,y=-3..3,contours=15,thickness=3,color=brown);plot3d(x/(x^2+y^2+1),x=0..4,y=-3..3,contours=15,thickness=3,color=brown);反梯度方向梯度方向最速增曲线最速降曲线with
4、(plots):p1:=contourplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..2,y=-2..2,contours=15,thickness=2,color=brown):p2:=gradplot(x/(x^2+y^2+1),x=0..2,y=-2..2,arrows=thin,thickness=2,color=black):display(p1,p2);函数的等值线及其梯度场：正交梯度的几何解释三元函数的等值面：由切平面的讨论，知梯度是等值面在点处的法矢。故，梯度矢量在任何点都垂直于函数的等值面并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。例例的一个等值面with(
5、plots);implicitplot3d({x^2*y+x*z=3},x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,style=patchcontour,axes=boxed);例的一个等值面gradplot3d(x^2*y+x*z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,color=red);6.8矢量分析例最陡的方向是梯度方向最大的坡度为：with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=5-x^2-2*y^2,x=-2.5..2.5,y=-2..2,z=0..6,style=patchcontour,numpoints=200
6、0):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-3..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..6,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[23,66]);Thecontourscontourplot(5-x^2-2*y^2,x=-3..3,y=-3..3,contours=30,color=red
7、);例一只蚂蚁不幸落在一块发烫的铁板上。铁板上的温度场为：蚂蚁落在点M(1,1)处,此处温度高达76度。蚂蚁差一点被烫死。解蚂蚁选择温度最速降曲线来逃命这是梯度的反方向：设蚂蚁的逃跑曲线为则该曲线的切线方向是：又令得积分积分得将x=1,y=1代入上式：C=5蚂蚁的逃跑曲线：抛物线with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=80-2*x^2-y^2-x,x=-20..20,y=-20..20,z=0..80,style=patchcontour,num
