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1、第九章第七节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度问题的实质：应沿温度变冷最快的方向爬行．问题的提出实例:一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点(x,y)处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一只青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点???xyot一、方向导数P(x,y)t说明:说明:当偏导数存在时,则xyot注意:例如:不存在.但证:定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有xyoxyo例1.求
2、函数的方向的方向导数.解:方向l:方向l的方向余弦为:例2.求函数在点P(3,4)沿与x轴夹角为方向的方向导数.解:方向l的方向角为:xyo对于三元函数沿方向的方向导数为推广:例3.解:例4.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦:方向的方向导数.在点P处沿求函数(gradient)二、梯度问题:方向导数的最大值：沿方向G,函数增加最快.1.梯度的定义设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量例5.解:2.梯度与方向导数的关系方向导数取得最小值(负数),且沿与梯度垂直方向函数不变化.沿梯度
3、方向函数增加最快.沿梯度反方向函数减少最快.方向导数取得最大值(正数),且例6.的方向导数;的方向导数;解:(1)函数沿梯度方向增加最快.∴沿梯度方向的方向导数为沿梯度的反方向的方向导数为此方向为推广:例7.解:在这两个方向的变化率各为在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得梯度为等值线上的法向量等值线3.梯度的几何意义所得曲线在xoy面上投影等值线如图:同样,对应函数有等值面:当各偏导数不同时为零时,其上点P处的单位法向量为内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯
4、度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为练习题:2.函数在点处的梯度指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A1.函数思考与练习3.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.曲线3.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量4.解:作业P108:1,4,5,8,10.
