方向导数和梯度(I)

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1、第八章第六节机动目录上页下页返回结束方向导数和梯度一、方向导数二、梯度的概念一、方向导数机动目录上页下页返回结束——方向导数方向导数的定义机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xzy0lyxlzP´Pz=f(x,y)QM是曲面在点P处沿方向l的变化率，即半切线方向导数.方向导数的几何意义的斜率N机动目录上页下页返回结束复习偏导数的几何意义证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到机动目录上页下页返回结束故有方向导数机动目录上页下页返回结束解机动目录上页下页返回结束说明：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束问题：沿任何方向方向导数存在，能否

2、保证偏导数存在？解：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明：解：则法线的斜率为从而法线的方程为机动目录上页下页返回结束则法向量为内法向量为方向余弦为又故所求方向导数为机动目录上页下页返回结束三元函数方向导数的定义机动目录上页下页返回结束问题：二、梯度机动目录上页下页返回结束则即沿方向函数的变化率增加最快。机动目录上页下页返回结束(gradient)(del)说明：机动目录上页下页返回结束例4.解1：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解2：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值。梯度的概念可以

3、推广到三元函数机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束梯度的基本运算公式等高线的画法播放机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线复习:平面曲线的切线与法线若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程有因机动目录上页下页返回结束即即平面曲线在点的法向量为等值（高）线梯度为等高线上的法向量机动目录上页下页返回结束梯度与等高线的关系：等值（高）线梯度为等高线上的法向量机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例如：机动目录上页下页返回结束三元函数的等值面及与梯度的关系解例5：机动目录上页下页返回结束机动目录

4、上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为机动目录上页下页返回结束沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为机动目录上页下页返回结束•方向导数存在偏导数存在•可微习题7-6(P96)4，6，7，9，11作业第八节目录上页下页返回结束备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)机动目录上页下页返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)机动目录上

5、页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解：(1)机动目录上页下页返回结束解：(2)解：由梯度计算公式得故机动目录上页下页返回结束5、证:试证机动目录上页下页返回结束处向径r的模,xzy0由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L：L=tan偏导数的几何意义.y=y0同理，.MTx固定y=y0机动目录上页下页返回结束Mz=f(x,y)Lx=x0固定x=x0Tx.xzy0偏导数的几何意义机动目录上页下页返回结束M由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=tan.x=x0固定x=x0TxTy.xzy0偏导数的几何意义机动目录上页下页返回结束等高线的画法机动目录上

6、页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回

7、结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线等高线的画法机动目录上页下页返回结束在几何上该曲面被平面称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面补充*：等高线