方向导数和梯度(II)

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1、二、方向导数的定义一、问题的提出四、小结、思考题五、作业第六节、方向导数与梯度三、梯度的概念151332实例：一、问题的提出应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？原点的距离成反比．金属板受热．(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使假定板上任意一点处的温度与该点到在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，二、方向导数的定义（如图）的变化率问题．讨论函数在一点沿某一方向设是平面上以为始点的一条射线，是与同方向的单位向量。射

2、线的参数方程为方向导数,内有定义，的某一邻域在点设函数为上的另一点，且若函数增量与到的距离的比值当沿着趋于时的极限存在，则称此极限为函数在点沿着方向的记为即定义或方向导数的几何意义：方向导数就是函数在点沿方向的变化率。若函数在点的偏导数存在，则又若则同理：函数在点沿着x轴负向和y轴负向的方向导数分别为和反之，若存在，则未必存在。如在原点处沿方向的方向导数而偏导数不存在。证明由于函数可微，则增量可表示为关于方向导数的存在及计算，有定理且有如果函数在点是可微分的，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，其中为方向的方向余弦。但点在以为始点的射线上时，应

3、有所以故方向导数存在，且解例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。方向与同方向的单位向量为所求方向导数解由方向导数的计算公式知故(1）当时，方向导数达到最大值（2)当时，方向导数达到最小值（3）当和时，方向导数等于例2求函数在点(1,1)沿与轴方向夹角为的方向射线（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有该函数在原点不连续（当但在始于原点的任何射线上，然也不可微），含原点的充分小的一段，在这段上的函数值恒为零，于是由方向导数的定义，在原点处沿任何方向都有都存在包时，例3设当其余部分，研究在原点的方向导数

4、。解推广可得三元函数方向导数的定义它在空间一点导数为对于三元函数沿着方向的方向同理可以证明：若函数在点可微，则函数在该点沿着方向的方向导数为例4求函数在点沿向量方向的方向导数。解解令故方向余弦为例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.故三、梯度的概念定义一阶连续偏导数，都可定出一个向量设函数),(yxfz=在平面区域内具有则对于每一点记为grad即grad这向量称为函数),(yxfz=在点梯度，的由方向导数公式知grad当时，即沿梯度方向时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模结论它的模它的方向是函数在该(2)与函

5、数在该点的梯度相反的方向是函数在该点的方向导数取得最小值的方向，其最小方向导数为是一个向量，grad就是方向导数的最大值．点的方向导数取得最大值的方向，垂直的方向的方向导数等于零。函数的梯度在点(1)在点处沿与梯度grad(3)当xf¶¶不为零时，x轴到梯度的转角的正切为例6设(1)求在点处沿从到方向的变化率.(2)在点处沿什么方向具有最大增长率，其最大增长率为多少？解(1)又在几何上表示一个曲面。所截得投影如图.等高线梯度为等高线上的法向量(2)在点处沿梯度方向具有最大的增长率，其最大增长率为曲面被平面所得曲线在xOy面上等高线的画法播放例如,梯

6、度与等高线的关系：函数在点的梯度的方向在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。与点P的等高线类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其梯度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G内具有一阶义一个向量(梯度)连续偏导数，则对于每一点都可定方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地,设曲面为函数的等量面，的梯度的方向与此函数在点过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同，面，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.解由

7、梯度计算公式得故例7求函数在点处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？在处梯度为0.下面简单介绍数量场与向量场概念：若对于空间区域内的任一点都有一个确定的数量则称在上确定了一个数量场一个数量场可用一个数量函数来确定。数量场（1）向量场（2）若与点相对应的是一个向量则称在上确定了一个向量场一个向量场可以用一个向量值函数来确定，从而其中都是点的数量函数。（如温度场、密度场等）。(如力场、速度场等)。于是向量函数确定一个向量场，称为梯度场，它是由数量函数产生的，通常称函数为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场。注：任何一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某

8、个数量函数的梯度。解同理从而若用表示与同方向的单位向量，则因此数量场的势场即梯度为原点与点的距离。例8求数量场所产生的梯度