D87方向导数与梯度(II)

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1、第八章第七节一、方向导数机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数与梯度一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P

2、(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量例4.证:试证处矢径r的模,内容小结1.方

3、向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处

4、切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.P73题163.函数在点处的梯度解:机动目录上页下页返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A4.函数提示:则机动目录上页下页返回结束P512，3，6，7，8，10作业第八节目录上页下页返回结束