D87方向导数与梯度

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1、第八章山东交通学院高等数学教研室第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、场的概念一、方向导数定义:则称其值为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为存在下列记作极限:若函数方向导数与偏导数的关系当l与x轴同向时存在.同理,偏导数存在时,若偏导数存在,即l与y轴同向时,即为沿坐标轴正方向的方向导数★但如果方向导数存在，偏导数却未必存在如函数在点沿任意方向l但该点偏导数不存在！！★函数在一点沿任意方向方向导数存在，不一定可微！故在点不可微定理:沿任意方向l的方向导数都存在,证明:且在点P可微,得则函数在该点其中为l的方向角.由函数若函数在点可微,对于三元函数处沿方向

2、l在点为)的方向导数为（方向角例1求函数在点P(1,1,1)沿向量的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:它在点P的切向量为将已知曲线用参数方程表示为例3设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：f增长最快的方向1定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度向量注:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:(为方向l上的单位向量)2

3、梯度的几何意义称为函数f的等值线或等高线.则L*上点P处的法向量为函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,曲线例4设函数解:在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为(1)点P处切平面的法向量为例5证明:试证:处向径r的模,三、场的概念函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(势场)

4、注:任意一个向量场不一定是梯度场.例6已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证明:这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.场强利用例5的结果内容小结1方向导数三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2梯度三元函数在点处的梯度为二元函数在点处的梯度为3关系方向导数存在偏导数存在可微梯度在方向l上的投影.方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值梯度的特点沿坐标轴正向练习1函数在点处的梯度解:(1992考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2函数提示:其单位向量为(1996考研)