D87方向导数与梯度(VIII)

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1、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率，实际应用中还需要讨论函数沿任意指定方向的变化率问题.讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义变化率思考：思考：方向导数与偏导数间有何关系？可否记为偏导数是特殊的方向导数?证明

2、由于函数可微，则增量可表示为故有方向导数即偏导数存在并连续方向导数存在偏导数存在可微连续解例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为x减小方向呢？解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数解令故方向余弦为故三、梯度的概念向量1、定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点都可定出一个向量这向量称为函数在点的梯度，记为2、函数在一点的梯度与函数在该点的方向导数间的关系其中沿梯度方向时，方向：模:梯度与方向导数的关系：.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向

3、与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．f变化率最大的方向f的最大变化率之值方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模，是函数在该点增值最快的方向函数在某处的梯度方向梯度的模为在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等值线梯度为等值线上的法向量等值线的画法播放例如,梯度与等值线的关系：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数类似地,设曲面为函数的等量面，此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的

4、等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.解由梯度计算公式得故三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.梯度场称势场某个数量函数的梯度场3.梯度的基本运算公式例6.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函

5、数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点练习P73题16提示:P512，3，6，8，10作业备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(1992考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:其单位向量为(1996考研)等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法