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1、第八章第七节一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数（directionalderivatives)定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是
2、曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数
3、的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式例4.证:试证处矢径r的模,三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂
4、直于等位面,且指向电位减少的方向.内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.P73题16曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量2.P73题163函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具
5、有轮换对称性(92考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A4.函数提示:则(96考研)作业P512，3，6，7，8，9，10思考：爬山时沿什么路线到达山顶路程最短？下山时沿什么路线到达山下路程最短？
