方向导数与梯度(81)

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1、第七节方向导数与梯度讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．一、方向导数定义设函数在点的某邻域内有定义,为从引出的有向线段,为上任一点,表示P与两点间的距离,若极限存在,则称此极限为在点沿的方向的方向导数.记作即若的方向与x轴正向的夹角为则若函数在处的偏导数存在,的方向与X轴正向一致,即取函数在处沿方向的方向导数为同理,沿x轴负向的方向导数为类似可得沿y轴正,负方向的方向导数.例1在处沿任意方向的方向导数存,但偏导数不存在.证:证明设方向但不存在.同理,不存在.说明函数在某点沿任意方向的方向导数存在不能保证偏

2、导数也存在.证明由于函数可微，则函数全增量可表示为两边同除以,得到其中为方向与x轴正向夹角．方向导数与偏导数之间有下面结论:由于有推广到三元函数若在处可微,则其中注意:可微是方向导数存在的充分条件,而非必要条件.例如,在处沿任意方向的方向导数存,但偏导数不存在,故不可微.解解由方向导数的计算公式知故二、梯度定义设在(x,y)处沿任意方向的方向导数存在则函数f(x,y)在(x,y)处的梯度是一个向量,记为它的方向与函数在(x,y)处取得最大方向导数的方向一致,它的模为函数在该点的最大方向导数.若函数f(x,y

3、)在(x,y)处可微,则f(x,y)在(x,y)处梯度为事实上,若函数f(x,y)在(x,y)处可微,则在(x,y)处引任一方向设则记则有当方向与的方向一致时,方向导数取最大值,且最大值为由梯度的定义,是f(x,y)在(x,y)处的梯度,即类似,若f(x,y,z)在(x,y,z)处可微,则在(x,y,z)处梯度为例3求在处的梯度及该方向的方向导数.解例4求在处沿在P点处的外法线方向的方向导数。解1先求在处切线斜率k在P点处的外法线方向的斜率取外法线向量为则又在几何上表示一个曲面,截得的曲线L的方程为L在xoy

4、面上投影为梯度方向此曲面被平面的方向与过点P的等高线在P点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.称为f的等高线,方程为梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度与等高线的关系：例4求在处沿在P点处的外法线方向的方向导数。解2是函数的一条等高线,在P点处的外法线方向就是函数的梯度方向,而该方向的方向导数即梯度的模.又外法线