高数同济9.7方向导数和梯度

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1、2.切线问题如图,如果割线MN绕点yM旋转而趋向极限位置yf(x)NMT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.T设M(x,y),CM00N(xx,yy).00ox0x0xx割线MN的斜率为yf(x0x)f(x0)tan,xx沿曲线C0,NM,xf(xx)f(x)00切线MT的斜率为ktanlim.x0x§7.方向导数和梯度？问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，

2、它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？1T22xy问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数讨论函数zf(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题．设函数zf(x,y)在点ylP(x,y)的某一邻域U(P)P内有定义，自点P引射线l．yPx设x轴与射线l的夹角xo为,并设P(xx,yy)为l上的另一点且PU(p).（如图）一、方向导数讨论函数z

3、f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题．yl22

4、

5、PP(x)(y),Py且zf(,)xxyyf(x,y),Pxz当P沿着l趋于P时，考虑,xolimfx(,)xyyfxy(,)0是否存在？一、方向导数讨论函数zf(x,y)在一点P沿某一方向yl的变化率问题．P22

6、

7、PP(x)(y),y当沿P着趋l于时P，Pxf(xx,yy)f(x,y)olim是否存在？0定义fxxyyfxy(,)

8、(,)如果极限lim存在，0则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数.f记为f(,)xxyyf(x,y)llim.022一、方向导数(x)(y),fxxyyfxy(,)(,)定义如果极限lim存在，0则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数.ff(,)xxyyfx(,y)记为lim.l0依定义函数f(x,y)在点P沿x轴正向e1(1,0)的方向导数为ff(,xxyfx)(,y)limyll0xPf(,

9、xxyfx)(,y)y=lim+xx0Pxff(,xxyf)(x,y)=limoxxx0xff结论：如果函数f(x,y)在点P对x的偏导数存在，则有=xl一、方向导数22()(),xyffx(,)xyyfxy(,)定义lim.l0则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数.依定义函数f(x,y)在点P沿x轴负向的方向导数为：ff(,xxyfx)(,y)liml0xylf(,xxyf)(x,y)limP_x

10、x0yfxxyfxy(,)(,)limPxx0xxoff(,xxyfx)(,y)=limxx0xff结论：如果函数f(x,y)在点P对x的偏导数存在，-,lxyl22一、方向导数

11、PP

12、(x)(y),PyPxf(xx,yy)f(x,y)ox定义如果极限lim存在，0则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数.ffx(,)xyyfxy(,)记为lim.l022在(0,0)沿zxyx轴正向的方

13、向导数zf(0x,0)f(0,0)xlimlim1l0x0xzfxf(0,0)(0,0)xlimlim不存在x(0,0)x0xx0x结论：如果函数f(x,y)在点P沿x轴正向的方向导数存在对x的偏导数不一定存在。方向导数的几何意义zΔzlimzz=f(x,y)lρ0ρPMf(P)f(P)limQNρ0ρf(xx,yy)f(x,y)zlimz方向导数l是曲面在P点P处沿方向l的变化率，y0即半切线MN的

14、斜率xPyx.P´yxlffx(,)xyyfxy(,)22()(),xy方向导数：lim.l0定理如果函数zf(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有fffcoscoslxy其中,为方向l的方向角．证明由于函数可微，则增量可表示为P72fff(xx,y