构造全等三角形(常见辅助线法)

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1、ABDEFMN专题讲解——三角形辅助线的方法∟∟连线法第一关如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD连接AC构造全等三角形连线构造全等连线构造全等如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.连接BD构造全等三角形ACBDO第二关中线倍长法如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。如图，若AD为△ABC的中线，必有结论：ABCDE12延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。△ABD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。已知，如图AD是△ABC的中线，ABCD

2、E延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？倍长中线第三关截长补短法已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求证:AB=AC+CDADBCE12在AB上取点E使得AE=AC，连接DE截长F在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF补短A1BCD234如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=ABEF在AB上取点F使得AF=AD,连接EF截长补短证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE

3、，使BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到

4、F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE

5、1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等边对等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代换）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠C=2∠B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

6、ABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代换）∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠B（等量代换）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等边对等角）如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交

7、PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长AE，交直线PQ于点F。*30**2221ABCDEMNPQ1234F5第四关周长问题转化1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?Ⅴ.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2.如图,△ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在