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《添辅助线构造全等三角形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、全等三角形综合一、添辅助线构造全等三角形DECAB常见的辅助线有：DAECB①题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，△ABC中，BD=DC，延长AD到E，使DE=AD，连结CD或BE。则有结论△CDE≌△BDA或△BDE≌△CDA②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC，则在AB上截取AE=AC，连结DE，必有结论△ADE≌△ADC.如图(2)，若延长AC到E，使AE=AB，连结DE，必有结论△ADE≌△ADB.F21EDCBA12EDCBA21EDCBA如图(3)，若作DE⊥AB于E，D
2、F⊥AC于F，必有结论DE=DF.二、例题例１ 已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A=∠D。求证：∠B=∠E。ABCDEF分析：要证∠B=∠E，通常的思路是要证△ABC≌△DEF，但如果连结AC、DE就会破坏∠A=∠D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：△ABF≌△DEC，于是可证∠ABF=∠DEC，进一步即可证明∠ABC=∠DEF证明：连结BF、CF、CE如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段
3、、角相等的一个常用手段。例２ 如图，，，点F是CD的中点，吗？试说明理由。分析：分析题目结论假定，可转化为，需证它们所在的两个三角形全等；解：-5-例３：已知：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF证明（二）：延长AE、BC交于点F。例４：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE
4、⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。-5-例５：四边形ABCD中AC平分ÐBAD,且ÐADC与ÐB互补,求证:CD=CB分析:图中CD与CB虽然位于两个不同的三角形中,但从图形
5、直观看就不全等,因此需要构造全等三角形,而已知中AC平分ÐBAD的条件提示我们,可在角平分线的两旁构造全等三角形,由于已有了一组等角与公共边,则只需在AB上截取AE=AD即可,从而构造出ADC≌AEC,得到CD=CE,下面只需在CBE中证明CB=CE。证明:在AB上截取AE=AD,连接EC例６：如图在ABC中AD^BC于D,AE是ÐBAC的平分线,AB>AC。求证:分析:要证,可想办法构造出然后证明与ÐEAD相等,又由已知AB>AC,则有ÐC>ÐB,所以可在ÐC上作出两角之差。证明:过C点作CN^AE于N交AD于M交AB于P通过例５和例６可以
6、看到可在角平分线两旁构造全等三角形，方法之一如例7采用的截取法，方法之二过角边上一点向角平分钱引垂线交另一边于一点，若已有和角平分线垂直的线段，可延长这条线段和角的一边，这两种情况都可在角平分线两旁构造全等三角形。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：DABC中，AD是BC边上的中线。求证：分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎
7、刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。-5-又如前面的例3、例４，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180°，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解
8、决问题的良好的逻辑思维习惯。例：已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，∠EDF=90°。求证：分析：从要证的结论来看，它们没构成一个
