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1、运用构造法，巧添辅助线运川构造法，巧添辅助线上海市桃李园实验学校戚元彬添加辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用.通过添加辅助线,对以将已知条件和待证结论联系起來，可以将分散的己知条件集中起來，从而使问题化难为易，这是几何证明的一种常用技巧•运用数学构造法,可帮助同学们巧添辅助线.一.构造基本图形教材中的每一个重耍怎理，都对应着一个基本图形，基本图形是每个肚理的图形语言•例如，等腰三和形的三线合一的基本图形、直和三角形斜边上中线的性质的基本图形、含30。角的直角三角形的性质的基本图形、线段的垂直平分线的定理及逆定理的棊本图形、角的平分线的定理及逆定理的基
2、本图形、垂直于弦的直径的性质的基本图形，等等.熟练掌握这些基本图形是几何证明的基础.为构造基本图形,巧添辅助线.例1:如图1,已知：AABC中，ZBAO90°,D是BC的中点,DE丄BC于D,交ZBAC的平分线于点E.1求证:DE=BC2图1分析：连结AD,构造“直和三和形斜边上屮线的性质的基本图形”.利用直角三角形斜边上中线的性质得到AD二12BC和AD=DC,可证ZOZDAC,于是ZE二90°-ZDFE二90°-ZAFB=90°-(ZFAC+ZC)=45°-ZC=45°-ZDAC=ZDAE,利用“等角对等边”证明AD二DE,所以DE二12BC.例2
3、:已知:如图2,AE、BD相交于点C,M、F、G分别是AD、BC、CE的中点，AB=AC,DC=DE.求证：MF二MG.F图2分析：分别连结AF、DG,构造“等腰三角形的三线合一的基木图形”，同时也构造了“直幷三和形斜边上中线的性质的基本图形”•利用等腰三角形三线合一的性质得到AF丄BC,DG1丄EC,再通过直角三和形斜边上中线的性质证明MF12AD,MG12AD,所以MF=MG.例3:已知:如图3,在AABC中,AB=AC,ZA=120°,EF垂直平分AB・分析：连结AF,构造“线段的垂直平分线的定理的基本图形”，同时构造了“含30。角的直角三角形的
4、性质的基木图形”•由定理得到BF二AF,通过计算得出ZFAC二90°,ZC=30°,于是再利用含30°角的直角三角形的性质证明CF二2AF,所以CF=2BF.例4:已知：如图4,在ZXABC中，D是BC上一点且DA丄AC,ZB=2ZC.求证：DC=2AB.图4分析：取DC的中点为F,连结AF,构造“直角三角形斜边上小线的性质的基木图形”.由直角三角形斜边上中线的性质得到DC二2AF和AF二FC,于是ZOZFAC,再证ZB=ZAFB,通过“等角对等边”证明AB二AF,根据DC二2AF得出DC=2AB.例5:已知:如图5,AABCAB=AC,ZA=90°,
5、ZB的平分线交AC于点D.求证：AB+AD二BC.图分析：过点D作DF丄BC,垂足为F,构造“角的平分线的定理的基本图形”•由定理得到DA=DF,再证DF二FC,由厶ABD^AFBD得出AB二BF,于是AB+AD二BF+FC二BC.一.构造全等三角形为构造全等三角形，巧添辅助线，以便利用全等三角形的判定与性质证明待证的问题.例6:已知：如图6,AD是RtAABC斜边上的高,ZABC的平分线交AD于点M、交AC于点P,AQ丄BP,垂足为Q,AK=DK.求证：QK丄AD・图62分析：遇到角平分线时，常通过辅助线构造全等三角形（本题构造△ABQ^AEBQ）.
6、延长AQ,交BC丁•点E,于是可证AQ二QE.连结QD,又构造了“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”（QD是RtAADE斜边上的中线），易证DQ二AQ,同时乂构造了“等腰三角形的三线合一的基本图形”，所以QK丄AD.例7:已知:如图7,AABC中,AB二BC,D是BC边上的中点,E在BC延长线上，且ZBEA=ZBAD.求证：BE二2AB.E分析：遇到三角形一边的中线（或中点）时，常将中线（或有关中点的其它线段）延长一倍,再连线，构造全等三角形（本题构造△ABD^AFCD,同时也构造了AACE竺ZXACF）•延长AD到点F,使DF二AD,连结CF,于
7、是可得ZBAD=ZF,ZB=ZDCF,易证ZF=ZE,由ZBAC=ZBCA,ZACE=ZBAC+ZB,ZACF=ZBCA+ZDCE可证ZACE=ZACF,于是△ACE8AACF,所以CE二CF二AB二BC,凶此BE=2AB.例8:如闇&在ZXABCAB=AC.ZA=108J,BD¥分ZABC.求证：BC=AB+CD.分析：证明线段的和差问题时，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”：在BC上截取BE,使BE二AB,连结DE,构造全等三和形(AABD^AEBD),于是可证ZBED=ZA=108°,再通过计算证明ZCDE=ZCED,从而EC=CD,所以
8、BOBE+EC二AB+CD.“补短法”：延长BA到F,使BF二BC,连结FD,构造全等三角形(
