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《运用构造法,巧添辅助线11例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、运用构造法构造基本图形，巧添辅助线添加辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用.通过添加辅助线,可以将已知条件和待证结论联系起来,可以将分散的已知条件集中起来,从而使问题化难为易,这是几何证明的一种常用技巧.运用数学构造法,可帮助同学们巧添辅助线.一.构造基本图形教材中的每一个重要定理,都对应着一个基本图形,基本图形是每个定理的图形语言.例如,等腰三角形的三线合一的基本图形、直角三角形斜边上中线的性质的基本图形、含30º角的直角三角形的性质的基本图形、线段的垂直平分线的定理及逆定理的基本图形、角的平分线的定理及逆定理的基本图形、垂
2、直于弦的直径的性质的基本图形，等等.熟练掌握这些基本图形是几何证明的基础.为构造基本图形,巧添辅助线.ABCDEF图1例1:如图1,已知:ΔABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,DE⊥BC于D,交∠BAC的平分线于点E.求证:DE=分析:连结AD,构造“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”.利用直角三角形斜边上中线的性质得到AD=和AD=DC,可证∠C=∠DAC,于是∠E=90°-∠DFE=90°-∠AFB=90°-(∠FAC+∠C)=45°-∠C=45°-∠DAC=∠DAE,利用“等角对等边”证明AD=DE,所以DE
3、=.例2:已知:如图2,AE、BD相交于点C，M、F、G分别是AD、BC、CE的中点，AB=AC，DC=DE.图2ABCDEGMF求证:MF=MG.分析:分别连结AF、DG,构造“等腰三角形的三线合一的基本图形”，同时也构造了“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”.利用等腰三角形三线合一的性质得到AF⊥5BC,DG⊥EC,再通过直角三角形斜边上中线的性质证明,所以MF=MG.例3:已知:如图3,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,EF垂直平分AB.求证:CF=2BF.图3ABCEF分析:连结AF,构造“线段的垂直平分线
4、的定理的基本图形”，同时构造了“含30º角的直角三角形的性质的基本图形”.由定理得到BF=AF,通过计算得出∠FAC=90°,∠C=30º,于是再利用含30º角的直角三角形的性质证明CF=2AF,所以CF=2BF.例4:已知:如图4,在△ABC中,D是BC上一点且DA⊥AC,∠B=2∠C.求证:DC=2AB.ABDCF图4分析:取DC的中点为F,连结AF,构造“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”.由直角三角形斜边上中线的性质得到DC=2AF和AF=FC,于是∠C=∠FAC,再证∠B=∠AFB,通过“等角对等边”证明AB=A
5、F，根据DC=2AF得出DC=2AB.例5:已知:如图5,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的平分线交AC于点D.ABCDF图5求证:AB+AD=BC.分析:过点D作DF⊥BC,垂足为F,构造“角的平分线的定理的基本图形”.由定理得到DA=DF,再证DF=FC,由△ABD≌△FBD得出AB=BF,于是AB+AD=BF+FC=BC.一.构造全等三角形为构造全等三角形,巧添辅助线,以便利用全等三角形的判定与性质证明待证的问题.例6:已知:如图6,AD是Rt△ABC斜边上的高,∠ABC的平分线交AD于点M、交AC于点P,AQ
6、⊥BP,垂足为Q,AK=DK.ABCDEM图6KQP求证:QK⊥AD.5分析:遇到角平分线时,常通过辅助线构造全等三角形(本题构造△ABQ≌△EBQ).延长AQ,交BC于点E,于是可证AQ=QE.连结QD,又构造了“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”（QD是Rt△ADE斜边上的中线）,易证DQ=AQ,同时又构造了“等腰三角形的三线合一的基本图形”,所以QK⊥AD.例7:已知:如图7,△ABC中,AB=BC,D是BC边上的中点,E在BC延长线上,且∠BEA=∠BAD.FABCED图7求证:BE=2AB.ABCDF12图8-2
7、分析:遇到三角形一边的中线(或中点)时,常将中线(或有关中点的其它线段)延长一倍,再连线,构造全等三角形(本题构造△ABD≌△FCD,同时也构造了△ACE≌△ACF).延长AD到点F,使DF=AD,连结CF,于是可得∠BAD=∠F,∠B=∠DCF,易证∠F=∠E,由∠BAC=∠BCA,∠ACE=∠BAC+∠B,∠ACF=∠BCA+∠DCF可证∠ACE=∠ACF,于是△ACE≌△ACF,所以CE=CF=AB=BC,因此BE=2AB.例8:如图8,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC.求证:BC=AB+CD.
8、ABECD12图8-1分析:证明线段的和差问题时,通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”:在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE,构造全等三角形(△ABD≌△EBD),于是可证∠BED=∠A=108°,再通过计算证明∠CDE=∠CED,从而EC=CD,所以BC=BE+E
