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《运用构造法,巧添辅助线11例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、添加辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作川•通过添加辅助线，可以将已知条件和待证结论联系起來，可以将分散的己知条件集小起來，从而使问题化难为易,这是儿何证明的一种常用技巧.运用数学构造法,可帮助同学们巧添辅助线.一.构造基本图形教材屮的每一个重要定理，都对应着一个基本图形，基木图形是每个定理的图形语言.例如，等腰三角形的三线合一的基本图形、直角三角形斜边上中线的性质的基本图形、含30°角的直角三角形的性质的基本图形、线段的垂直平分线的定理及逆定理的基本图形、角的平分线的定理及逆定理的基木图形、垂肓于弦的肖•径的性质的基木图形，等等.熟练掌握这些基本图形是儿何
2、证明的基础.为构造基本图形,巧添辅助线.C例1:如图1,已知：AABC中,ZBAC=90°,D是BC的中点,DE丄BC于D,交ZBAC的平分线于点E.求证:DE=-BC2分析：连结AD,构造“肓角三角形斜边上屮线的性质的基木图形”.利用肓角三角形斜边上中线的性质得到AD=-BC和AD=DC,可证ZOZDAC,于是ZE=90°-ZDFE=90°-2ZAFB=90°~(ZFAC+ZC)=45°-ZC=45°~ZDAC=ZDAE,利用“等角对等边”证明AD=DE,所以DE=-BC.2例2:已知:如图2,AE、BD相交于点C,M、F、G分别是AD、BC、CE的中点
3、，AB=AC,DC=DE.求证：MF=MG.n分析：分別连结AF、DG,构造“等腰三角形的三线合一的基本图形”，同吋也构造了“直角三角形斜边上中线的性质的棊本图形”.利用等腰三角形三线合一的性质得到AF丄BC,DG丄EC,再通过总角三角形斜边上中线的性质证^MF=-AD.MG=-AD^以MF=MG.22例3:已知:如图3,在厶ABC中,AB=AC,ZA=120°,EF垂直平分AB.求证:CF=2BF.图3分析：连结AF,构造“线段的垂直平分线的定理的基本图形”，同吋构造了“含30。角的直角三角形的性质的基本图形”•由定理得到BF=AF,通过计算得出ZFAC
4、=90°,ZC>30。,于是再利川含30。角的直角三角形的性质证明CF=2AF,所以CF=2BF.例4:已知：如图4,在厶ABC中,D是BC±一点且DA丄AC,ZB=2ZC.求证:DO2AB.图4分析：取DC的中点为F,连结AF,构造“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”.由肓角三角形斜边上屮线的性质得到DC=2AF和AF=FC,于是ZOZFAC,再证ZB=ZAFB,通过“等角对等边”证明AB=AF,根据DC=2AF得出DO2AB.例5:已知:如图5,AABC中,AB=AC,ZA=90°,ZB的平分线交AC于点D.求证:AB+AD二BC.图5分析：过点D
5、作DF丄BC,垂足为F,构造“角的平分线的定理的基本图形”.由定理得到DA=DF,再证DF=FC,由厶ABD^AFBD得出AB=BF,于是AB+AD=BF+FC=BC.一.构造全等三角形为构造全等三角形，巧添辅助线，以便利用全等三角形的判定与性质证明待证的问题.例6:己知：如图6,AD是RtAABC斜边上的高,ZABC的平分线交AD于点M、交AC于点P,AQ丄BP,垂足为Q,AK=DK.求证:QK丄AD.图6分析：遇到巾平分线时，常通过辅助线构造全等三介形（木题构造△ABQ^AEBQ）.延氏AQ,交BC于点E,于是町证AQ=QE.连结QD,又构造了“直角三
6、角形斜边上中线的性质的基本图形”（QD是RtAADE斜边上的中线），易证DQ=AQ,同时乂构造了“等腰三角形的三线合一的基本图形”，所以QK丄AD.例7:已知：如图7,AABC+,AB=BC,D是BC边上的屮点,E在BC延长线上，且ZBEA=ZBAD.求证：BE=2AB.分析：遇到三角形一边的中线（或中点）时，常将中线（或有关中点的其它线段）延长一倍,再连线，构造全等三角形（本题构iSAABD^AFCD,同时也构造了△ACE9AACF）.延长AD到点F,使DF=AD,连结CF,于是可得ZBAD=ZF,ZB=ZDCF,易证ZF=ZE,由ZBAC=ZBCA,Z
7、ACE=ZBAC+ZB,ZACF=ZBCA+ZDCF可证ZACE=ZACF,于是△ACE^AACF,所以CE=CF=AB=BC,因此BE=2AB.例&如图&在△ABC中,AB=AC,ZA=108°,BD平分ZABC.F求证:BOAB+CD.，//图8-1分析：证明线段的和差问题时，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”：在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE,构造全等三和形（AABD^AEBD）,^是可证ZBED=ZA=108°，再通过计算证HflZCDE=ZCED,从而EOCD,所以BC=BE+EC=AB+CD.“补阳法”:延长BA到F,使BF=B
8、C,连结FD,构造全等三角形（AFBD^ACBD）,T是可证CD=
