利用设而不求解题

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1、利用设而不求解题　　摘要：在解析几何解题过程中经常遇到中点问题，多种解法中，设而不求是解此类问题的较为简便解法。即设出以某点为中点的弦的两个端点，代入曲线方程，两方程相减，目的凑斜率凑中点，这种方法简称设而不求，在解决中点问题中有广泛的应用.　　关键词：设而不求中点问题解析几何　　1.已知弦中点求直线方程　　例1：在椭圆3x+4y=12内有一点P（1，1），求以P为中点的弦所在的直线方程.　　解析：设以P为中点的弦的两个端点A（x，y），B（x，y），显然x≠x　　则3x+4y=12（1）　　3x+4y=12（2）　　（1）

2、-（2）得：3（x+x）（x-x）+4（y+y）（y-y）=0　　∵x+x=2，y+y=2，直线斜率k=-　　∴所求直线方程为3x+4y-7=0　　本题属于已知中点求出斜率，进而求出直线方程.　　2.求过定点的弦的中点的轨迹方程　　例2：求在椭圆3x+4y=12内过一点P（0，1）弦的中点的轨迹方程.　　解析：设弦的中点M（x，y）两端点A（x，y），B（x，y）4　　则3x+4y=12（1）　　3x+4y=12（2）　　（1）-（2）得3（x+x）（x-x）+4（y+y）（y-y）=0　　3x=x时，M（0，0）　　当x≠

3、x时，3×2x+4×2y×k=0　　又∵k=k=　　∴3x+4y×=0　　即3x+4y-4y=0　　M（0，0）亦适合3x+4y-4y=0　　∴所求过P（0，1）的弦的中点的轨迹方程为3x+4y-4y=0.　　本题属于过定点弦中点轨迹问题，关键在于斜率的表示方法.　　3.已知斜率时，求弦的轨迹方程　　例3：在椭圆x+2y=2内，求斜率为2的弦的中点的轨迹方程.　　解析：设弦的中点M（x，y），两端点P（x，y），Q（x，y）　　则x+2y=2①　　x+2y=2②　　①-②得（x+x）（x-x）+2（y+y）（y-y）=0　　

4、∴x+4y=0　　由x+4y=0x+2y=2得x=±　　∴所求的轨迹方程为x+4y=0（-

5、2y+1=0　　由x-2y+1=0与-y=1相结合得x-2x-5=0，判别式δ>0满足题意条件.　　∴所求的弦所在直线方程为x-2y+1=0.　　本题是探索性问题，双曲线中点问题中最后需要利用判别式△进行检验，若△≤0则说明满足条件直线方程不存在.　　5.利用设而不求解决对称问题　　例5：若抛物线y=ax-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A，B.求a的取值范围.　　设AB的中点M（x，y），两点A（x，y），B（x，y）　　则y=ax-1①　　y=ax-1②　　①-②得y-y=a（x+x）（x-x）　　∴x=，y=-

6、　　∵M（x，y）在抛物线内部4　　∴x.　　本题属于对称问题，找出中点坐标表达式，根据中点在抛物线内部限定，从而求出a的范围，可见在解决中点问题设而不求有很重要的作用.4