解题中的“设而不求”综述

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1、解题中的“设而不求”综述周淦利设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。一、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。例1.已知等比数列中，，求。解：设公比为q，由于，故于是<2>÷<1>得，则所以二、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求

2、，可转化成几何问题求解。例2.设a、b均为正数，且，求证。证明：设，则u、v同时满足其中表示直线，m为此直线在v轴上的截距是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。图1由图易得即三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。例3.已知对任何满足的实数x、y，如果恒成立，求实数k的取值范围。解：设（），则令，得四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策

3、略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。例4.设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O。证明：设点A（，）、B（，），则点C（，）因为AB过焦点F所以得又直线OC的斜率直线OA的斜率，则故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。图2五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。例5.求证证明:设则由可知：数列为单调递增数列。又则即六、中介过渡，设而

4、不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。例6.如图3，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α。图3解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知∠MAO＝∠AOB＝∠OSB＝α设MA＝x，OB＝r，SO＝h则有化简可得又因为即所以于是，从而七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。例7.求的值。解：设则而，故年级　高中学科数学版本期数内容标题　　解题中的

5、“设而不求”综述分类索引号　　G.622.46分类索引描述　　辅导与自学主题词　　解题中的“设而不求”综述栏目名称　专题辅导供稿老师审稿老师录入许咏梅一校胡丹二校审核