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《高中数学 报刊专题研究精选 解题中的“设而不求”综述素材.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解题中的“设而不求”综述设而不求是数学解题中的一-种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免有目推演而造成的无益的循环运算,从而达到准确、快速、简捷的解题效果。木文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。一、象体代入，设而不求在解决某些涉及若干个景的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。Sm=16,S2m=64,求九丰2Sm,故qh1例1.已知等比数列｛a“｝中，解:设公比为q,由于S2m<1>于是站（"）=64<2><2>4-<1>得1+
2、q"=4,_a1(l-q3m)_i^q=a,(1~qm)(l+qm+q2m)i-q=16x(1+3+32)=208二、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。例2.设&、b均为正数，Ha+b=l,求证J2“+1+J2b+152血。证明：设u=丁2“+1,v=J2b+l（u〉1,v>1）,u+v=mfu+v=m则u、v同时满足〈[u~+V'=4英中u+v=m表示直线，山为此直线在V轴上的截距u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图
3、1）,显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。图1山图易得m“和=2V2即V2a+1+J2b+1<2V2三、适当引参，设呦不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，己知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。例3.已知对任何满足(x-l)2+y2=1的实数x、y,如果x+y+kAO恒成立，求实数k的収值范围。fx=1+COS&解：设彳(0WR),则[y=sin0g(0)=x+y+k=sin&+cos0+1+k=V2sin(<9+-)+l+k4>-V2+l+k令-血+l+kno,得k>V2-1四、
4、巧设坐标，设而不求在解析儿何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。例4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//X轴，求证：直线AC经过原点0。证明：设点A(2ptj,2pt
5、)、B(2pt；,2pt2),则点C(,2pt2)因为AB过焦点F所以2p--2pt2=-p2得=_£又直线0C的斜率k()c=込=-4t.=丄2直线0A的斜率kOA=警三二]，则koc=kOAZpt!—0t,故A、
6、0、C三点共线，即直线AC经过原点0。图2五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。例5.求证-'-+—*—+•••+—>—(n>2,nwN*)n+1n+22n24证明:设x“二丄+—+…+_一—n+1n+22n24则X“+
7、II11113++•••+—++n+2n+32n2n+12n+224山xn+1-xn11112n+12n+2n+1〉0可知：数列｛x“｝为单调2n+I2n+2Xx21113=—
8、3424>0则xn>0(n>2,n
9、gN*)即暮+士+…+存善22,Z)六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。例6.如图3,0A是圆锥底而中心0到母线的乖线，0A绕轴旋转一周所得曲而将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥垮线与轴的夹角a。图3解：过点A作S0的垂线，垂足为M,可知ZMA0=ZA0B=Z0SB=a设MA=x,0B=r,SO=h则有-^x2h=—*-^r2h323XO丨化简可得(-)=-r2又因为cosa噥OA~OB即cosaOAOA亠所以cos「a=OA于是cos4a=-,从Hua-a
10、rccos—^=2V2七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。712兀3兀8兀，，八例7.求cos—cos——coscos的值。17171717712兀3zr8zr解：设“=cosCOS——cosCOS——17171717KT.7T.27r.37r.8/rN=sin——sin——sinsin——1717171771711711718/r8/r则MN=sin——cossin——cossin——cos——1717171717171・2兀.4兀•16
11、/r=—sin——sinsin281717171•兀・2/r.8/r=—sin——sinsin——28171717•N而5,故右
